15. СТОЛКНОВЕНИЯ АТОМОВ С ЗАРЯЖЕННЫМИ ЧАСТИЦАМИ

Рассмотрим процесс столкновения частицы с зарядом с атомом, атомный номер которого есть Z. Будем предполагать, что скорость частицы достаточно велика для того, чтобы можно было применять борновское приближение, но тем не менее задача остается нерелятивистской. (Все же многие из последующих формул будут записаны в виде, справедливом и в релятивистском случае.) Таким образом, мы предполагаем, что начальная скорость частицы лежит в пределах между значениями и примерно

Гамильтониан всей системы имеет вид

Здесь — гамильтониан атома, — гамильтониан свободной частицы и гамильтониан взаимодействия, т. е. часть, описывающая взаимодействие падающей частицы с электронами и ядром атома. Воспользуемся нестационарной теорией возмущений, т. е. разложим собственные функции полного гамильтониана Н по полному набору собственных функций гамильтониана На и будем рассматривать как возмущение:

    (15.2 )

В выражении представляет собой коэффициент разложения, зависящий от k — волнового вектора падающей частицы — и от времени. Функция

есть собственная функция гамильтониана Н, описывающая состояние атома, в котором его энергия равна Эта функция зависит от координат, соответствующих Z электронам атома. (Мы полностью пренебрегаем здесь спином.) Выражение есть собственная функция свободной частицы, и W — ее радиус-вектор и энергия, включая и энергию покоя частицы. В гамильтониане взаимодействия есть расстояние между падающей частицей и электроном. Первый член в описывает потенциальную энергию взаимодействия частицы с атомными электронами; второй член — взаимодействие ее с ядром. Мы считаем, конечно, что ядро покоится в начале координат.

Тогда уравнение (15.2 а) эквивалентно следующей бесконечной системе уравнений для коэффициентов

    (15.3 а )

Здесь величины отвечают начальному состоянию атома и падающей частицы, а — конечному состоянию.

В нулевом приближении возьмем

(первоначально атом находится в основном состоянии и параметры падающей частицы суть ). Тогда в первом приближении для амплитуды вероятности перехода получим

Таким образом, вероятность перехода из начального состояния в оказывается заметной только в том

случае, когда выполняется условие

т. е. обычный закон сохранения энергии. Поперечное сечение рассеяния, равное вероятности перехода в единицу времени, деленной на величину падающего потока (т. е. на скорость падающей частицы ), имеет вид

    (15.7 а)

где вектор

    (15.76)

равен (с точностью до множителя А) передаче импульса при рассеянии, а углы определяют направление вектора к. Так как значение энергии W принадлежит непрерывному спектру (мы предполагаем при этом, что падающая частица не захватывается), то выражение (15.7 а) надо проинтегрировать по небольшому интервалу энергий вблизи W и заменить -функцию на - плотность состояний по энергии, равную (Обычный множитель — объем — включен в нормировку волновых функций свободной частицы.) Учитывая, что получаем для поперечного сечения рассеяния

Нетрудно проинтегрировать по координатам падающей частицы. Интеграл можно вычислить, заметив, и

Последнее выражение получается в результате двойного интегрирования по частям и отбрасывания поверхностных членов. Имеем

Отметим, что совершенно так же, как в формуле Резерфорда. Это показывает, что наиболее вероятными являются акты рассеяния с малыми передачами импульса.

Упругое рассеяние

Рассмотрим сначала процессы упругого рассеяния, при которых . Первый член в интеграле (15.11) сразу дает Z. Второй член,

можно записать следующим образом:

Очевидно, в фигурных скобках стоит плотность вероятности для электрона. Введем величину

    (15.12 б)

Тогда интеграл (15.12 а) можно переписать в виде

    (15.12 в )

Замечая, что векторы здесь являются просто переменными интегрирования, и вводя величину -полную электронную плотность в точке , — преобразуем интеграл (15.12в) к виду

    (15.12 г )

Величину называют форм-фактором. Согласно приведенному выше определению , мы имеем

    (15.12 д)

Если — угол рассеяния (угол между векторами ко и к), то для упругого рассеяния. Формула для дифференциального поперечного сечения при упругом рассеянии в направлении такова:

Разложим величину в ряд по степеням q. Член нулевого порядка исчезает согласно равенству (15.12 д). Член первого порядка пропорционален величине , представляющей собой среднее значение дипольного момента атома, и потому тождественно обращается в нуль. Первый неисчезающий член пропорционален

Как видно, при рассеянии на малые углы дифференциальное поперечное сечение не зависит от угла, а зависит просто от среднеквадратичного расстояния электронов от ядра. Видно также, что особенность при свойственная формуле Резерфорда, здесь исчезает. Когда где а — характерный радиус атома,

Скорость входит в сечение рассеяния только в виде произведения . В нерелятивистском предельном случае эта величина равна удвоенной кинетической энергии. В обратном предельном случае Зависимость от оказывается точной при любых скоростях.

Форм-фактор для тяжелых атомов можно оценить с помощью теории Томаса — Ферми, а для произвольных атомов, и с большей точностью, — по методу Хартри — Фока.

Неупругое рассеяние

В случае неупругого рассеяния, когда общая формула (15.11) для дифференциального поперечного сечения сводится к следующей:

    (15.14)

Тот член из интеграла (15.11), который был пропорционален Z, здесь обращается в нуль благодаря ортогональности волновых функций . Напомним, что функции описывают электроны в атоме. В частности, если аппроксимировать их детерминантами Слэтера и заметить, что величина представляет собой одноэлектронный оператор, можно придти к заключению, что неупругое рассеяние имеет место, только если начальное и конечное состояния отличаются лишь одной орбиталью,

Оценим порядок величины

    (15.15)

Положим величина есть скорость электрона на первой боровской орбите. Следовательно,

    (15.16)

так как предполагается, что борновское приближение применимо. Далее,

Поэтому при изменении в пределах от до параметр пробегает значения от значительно меньших единицы до намного превышающих единицу.

В случае разложим экспоненту. Член нулевого порядка исчезает вследствие ортогональности волновых функций. Первый неисчезающий член приводит к интегралу

    (15.18)

представляющему собой дипольный момент для перехода Поскольку поперечное сечение содержит множитель наиболее вероятны акты рассеяния с малыми q, а при таких процессах, как мы видим, столкновения вызывают главным образом переходы, которые разрешены также оптически. Результат (15.18) вовсе не зависит от приближения Хартри — Фока. В случае возможны любые переходы, а не только дипольные.

При интеграл, входящий в формулу (15.14), становится очень малым из-за быстрых осцилляций экспоненты, за исключением того случая, когда подобным

же образом ведет себя и волновая функция . Если воспользоваться детерминаитным приближением, то интеграл приводится к виду

    (15.19)

Эта величина может быть большой только при условии, что изменяется как , т. е. если возбужденный атомный электрон в конечном состоянии обладает импульсом, примерно равным q. Отсюда мы заключаем, что существует приближенный закон сохранения импульса для системы из падающей частицы и возбужденного электрона; иными словами в случае приобретаемый ядром импульс невелик.

Этот результат важен при определении величины , так как теперь имеет смысл максимального импульса, который может быть передан электрону падающей частицей массы М в результате столкновения, при котором сохраняются полные импульс и энергия этих двух частиц. В нерелятивистском случае из элементарной классической механики следует

    (15.20 а)

В последнем случае (когда атом сталкивается с электроном) обычно в качестве выбитого из атома рассматривают более медленный из двух участвующих в процессе электронов. В связи с этим формула (15.20в) видоизменяется следующим образом:

    (15.20 г)

Более того, в этом случае возникает обменный член между падающим и атомным электронами, который приводит к уменьшению поперечного сечения, когда q — величина порядка

Энергетические потери падающей частицы

Когда заряженная частица проходит сквозь вещество, она испытывает множество соударений, поперечное сечение для каждого из которых определяется формулой (15.11). Неупругие столкновения происходят даже на больших расстояниях между частицей и атомом, ограниченных сверху величиной , которая составляет примерно 100 атомных радиусов при . (В релятивистской области это расстояние растет далее пропорционально .) При таких столкновениях частица теряет свою кинетическую энергию и в конце концов останавливается.

Убыль энергии на единицу длины пути есть

    (15.21)

где N — концентрация атомов. Величина представляет собой полное поперечное сечение неупругого столкновения, в результате которого атом приходит в конечное состояние с энергией разность равна потере энергии частицей при этом столкновении. Суммирование по проводится по всем атомным состояниям, что дает полную потерю энергии частицей

Чтобы вычислить эту величину, рассмотрим сначала выражение

    (15.22)

Согласно формуле (15.15),

    (15.23)

В нерелятивистском случае имеем

    (15.24)

В релятивистском случае в очень хорошем приближении можно положить при этом соотношение (15.24) по-прежнему выполняется. Тогда на основании (15.14), (15.21) и (15.24) находим

    (15.25)

где, по определению, . Мы заменили здесь на как в релятивистской области, так и в нерелятивистской. Поэтому

    (15.26)

Допустим теперь, что можно поменять местами суммирование по и интегрирование по q. Это — приближение, так как величины обе зависят от . После этого выражение (15.26) принимает вид

    (15.27)

Здесь черточки над пределами интегрирования по q указывают, что в качестве таких пределов использованы подходящие усредненные значения, не зависящие от .

Сумму по теперь можно вычислить точно. Сначала запишем ее как

    (15.28)

Эту величину мы вычислим в нерелятивистском случае

Потенциал V, конечно, коммутирует с А. Отсюда

    (15.31)

Будем считать, что функция вещественна (что мы всегда вправе сделать); тогда перепишем правую часть равенства (15.31) в следующем виде:

    (15.32 а)

Второй член в первом интеграле проинтегрируем по частям, опустив поверхностный член. Тогда результат точно сократится с первым членом первого интеграла. Второй член второго интеграла равен нулю, что можно установить с помощью интегрирования по частям. Следовательно, вместо выражения (15.32 а) получим

Это есть замечательное обобщение правила -сумм.

Вернемся к уравнению (15.27). Имеем

    (15.33)

Величина , очевидно, есть полное число электронов в единице объема. В качестве можно использовать выражение (15.206), не зависящее от энергии, а в качестве мы возьмем среднее значение величины (15.15)

    (15.34)

Это выражение обычно используется в формуле для эффективного торможения. Можно, однако, продвинуться несколько дальше и найти зависимость величины от Z с помощью модели Томаса-Ферми. Это было сделано Блохом, который показал, что

    (15.35)

где С — некоторая константа. Опыт подтвердил этот закон, и для С было найдено эмпирическое значение около 10 эв. Окончательная формула для эффективного торможения в случае тяжелых нерелятивистских частиц выглядит тогда следующим образом:

Эта величина зависит только от скорости частицы, но не от ее массы. Дальнейшие расчеты можно найти, например, в книге [37].