§ 106. Представления центра

Центр алгебры о при любом неприводимом представлении должен отображаться на такие матрицы, которые перестановочны со всеми матрицами представления. Если основное поле алгебраически замкнуто и кольцо представляющих матриц — полное матричное кольцо, то матрицы центра состоят лишь из кратных единичной матрицы следовательно, центр алгебры о в этом случае представляется матрицами вида То же самое верно и для абсолютно неприводимых представлений, потому что в этом случае можно перейти к алгебраически замкнутому основному полю, не утрачивая неприводимости. Итак: при любом абсолютно неприводимом представлении алгебры о элементы ее центра представляются кратными единичной матрицы.

Если кольцо о коммутативно, и, следовательно, является своим собственным центром, то все матрицы абсолютно неприводимого представления имеют вид Из неприводимости следует, что представления должны иметь первую степень. Итак: абсолютно неприводимые представления коммутативной алгебры имеют степень 1.

Любое представление первой степени алгебры о — это гомоморфное отображение из о в тело представления К- Если К коммутативно, то два эквивалентных представления первой степени просто равны, потому что если матрица представления и элемент поля К, то

Отсюда следует утверждение: число неэквивалентных представлений первой степени коммутативной алгебры о в поле К равно числу различных гомоморфизмов из о в К.

Вернемся к некоммутативным алгебрам и предположим, что алгебра о полупроста. Тогда она является прямой суммой простых алгебр:

и центр 3 алгебры о представляется в виде суммы того же числа полей:

Число неэквивалентных неприводимых представлений кольца о и равным образом его центра 3 равно числу двусторонних компонент в о или в 3. потому что каждое такое представление кольца о определяется некоторым левым идеалом в а каждое неприводимое представление центра 3 определяется полем Итак: существует столько же неэквивалентных неприводимых представлений кольца сколько неприводимых неэквивалентных представлений центра 3, и каждому неприводимому представлению

кольца о, при котором все кроме переходят в нуль, можно сопоставить представление IX центра 3, при котором все кроме переходят в нуль.

В частности, если о — сумма полных матричных колец над то поля имеют ранг 1 и изоморфны тем самым в данном случае число неприводимых представлений кольца о равно рангу центра 3- Связь между неприводимыми представлениями кольца о и неприводимыми представлениями (первой степени) центра 3 в рассматриваемом случае совершенно проста. Именно, представление переводит каждый элемент центра в матрицу вида где единичная матрица порядка. Каждому элементу таким образом сопоставляется (при фиксированном некоторый элемент а, и можно записать:

Функция определяет гомоморфизм центра, т. е.

При этом гомоморфизме поля за исключением представляются нулем, т. е. гомоморфизм — это не что иное, как обозначавшееся раньше через представление первой степени центра.

Представление задано всякий раз, когда задан -базис модуля а в качестве последнего можно взять единичный элемент поля Если каждый элемент из записать в виде

то получится

тем самым будет представляющей матрицей, т. е.

Вместо (1) мы можем теперь писать

Иначе говоря: коэффициенты разложения элемента центра по идемпотентным элементам того же центра задают гомоморфизмы или представления первой степени этого центра.

(см. скан)

(см. скан)