§ 143. Нормирования поля рациональных чисел

Приводимая ниже теорема Островского показывает, что известными нам нормированиями поля рациональных чисел — а именно, -адическими нормированиями и абсолютным значением — исчерпываются, по существу, все возможные нормирования этого поля. При этом в качестве поля значений нормирований опять берется поле вещественных чисел.

Любое нетривиальное нормирование поля рациональных чисел либо имеет вид при следовательно, эквивалентно обычному абсолютному значению, либо имеет вид при некотором фиксированном простом числе и некотором фиксированном положительном числе а и, следовательно, эквивалентно некоторому -адическому нормированию.

Доказательство. Для любого целого рационального числа имеет место неравенство

потому что

Пусть и -два произвольных натуральных числа. Разложим по степеням числа а:

Наивысшая степень числа а в данном случае не превосходит

т. е.

Если теперь предположить, что то в силу соотношений

имеет место неравенство

или

В силу леммы из § 141 отсюда следует, что

т. е.

Первый случай. Нормирование архимедово. Тогда существует целое число для которого Если бы для какого-нибудь другого целого числа имело место неравенство то из доказанного выше неравенства получалось бы противоречие: Следовательно, для всех целых чисел Тем самым в данном случае получается неравенство

или

Так как можно поменять местами, то

и, следовательно,

Если то отсюда следует, что Поэтому

для каждого рационального числа Обязательно так как так как

Второй случай. Нормирование неархимедово. В этом случае для всех целых чисел а. Совокупность всех целых чисел а, для которых является, очевидно, идеалом в кольце целых чисел. Этот идеал прост, так как из с необходимостью следует, что или Напомним, что в кольце целых чисел каждый идеал является главным и, в частности, каждый простой идеал порождается некоторым простым числом. Целые числа а, для которых являются поэтому кратными некоторого простого числа Каждое рациональное число может быть представлено в виде где целые числа и не делятся на Так как некоторое фиксированное число, положительное в силу Таким образом, нормирование эквивалентно -адическому нормированию

После того как нормирования поля рациональных чисел описаны полностью, мы можем перейти к алгебраическим и трансцендентным расширениям; сначала рассмотрим случай алгебраических расширений.

На самом деле мы ограничимся неархимедовыми нормированиями, так как архимедовы нормирования менее интересны. Точнее, имеет место следующая теорема Островского: любое поле К с архимедовым нормированием непрерывно изоморфно некоторому полю, состоящему из комплексных чисел, наделенному обычным абсолютным значением. За доказательством мы отсылаем читателя к оригинальному изложению.

Сформулируем план действий следующим образом: мы будем исходить из некоторого наперед заданного (неархимедова) нормирования поля К. Затем мы рассмотрим алгебраическое расширение поля К и выясним, как и сколькими способами можно продолжить нормирование поля К до нормирования поля

В § 144 поле К предполагается нормированным и полным относительно этого нормирования. В § 145 случай неполного поля сводится к случаю полного поля с помощью некоторого вложения. В § 146 найденные результаты используются для того,

чтобы найти все архимедовы и неархимедовы нормирования произвольного поля алгебраических чисел.

Задача. Если -адические нормирования, то произведение всех этих значений для каждого фиксированного а равно 1.