§ 53. Прямые произведения

Группа называется прямым произведением подгрупп и , если выполнены следующие условия:

А1. — нормальные подгруппы в

Эквивалентными этому являются требования:

Б1. Каждый элемент группы является произведением

Б2. Множители однозначно определяются элементом g. Б3. Каждый элемент подгруппы перестановочен с каждым элементом подгруппы 53.

Из условий А следуют условия Действительно, следует из Условие получается так: если

то

элемент должен принадлежать как так и , а потому в силу он оказывается равным единице; следовательно,

и установлена единственность представления (1). Условие следует из того, что в силу принадлежит как так и , а потому в силу этот элемент равен единичному.

Из условий следуют условия А. То, что подгруппа является нормальной, получается так:

Условие следует из Условие получается так: если с элемент пересечения то с представляется двумя способами как произведение некоторого элемента из и некоторого элемента из 8:

В силу единственности должно выполняться равенство Условие получено.

Произведение когда оно является прямым, будет обозначаться через В случае аддитивных групп (модулей) пишут ) для обозначения суммы и — для обозначения прямой суммы.

Если известно строение групп и , то известно строение и группы потому что любые два элемента перемножаются путем умножения сомножителей:

Группа называется прямым произведением нескольких своих подгрупп если выполнены следующие условия: Все являются нормальными подгруппами в

Если эти условия выполнены, то группы являются нормальными подгруппами и в их произведении так что это произведение согласно тому же определению является прямым. Далее, как произведение нормальных

групп, вновь является нормальной подгруппой в и

Следовательно,

где

С помощью (2) прямые произведения можно определять рекуррентно. Если к произведению применить определение то индукцией по получится:

Б. Каждый элемент группы однозначно представим как произведение

и каждый элемент из перестановочен с каждым элементом

Из в свою очередь, следуют условия А. Действительно, положим

тогда из для произвольного получается

следовательно, каждая подгруппа является нормальной в и

Последнее утверждение содержит нечто большее, чем условие

Из (3) согласно первой теореме об изоморфизме следует, что

Группы

составляют нормальный ряд группы с факторами Если группы обладают композиционными рядами, то и обладает композиционным рядом, длина которого является суммой длин отдельных факторов.

(см. скан)

(см. скан)

Группа называется вполне приводимой, если она является прямым произведением простых групп. В этом случае соответствующий нормальный ряд (4) является композиционным рядом. Согласно теореме Жордана — Гёльдера композиционные факторы определены однозначно с точностью до изоморфизма и порядка следования.

Теорема. В любой вполне приводимой группе каждая нормальная подгруппа является прямым сомножителем, т. е. для каждой нормальной подгруппы существует разложение

Доказательство. Из следует, что

С каждым из сомножителей можно проделать следующую операцию: множитель либо зачеркивается, либо предшествующий ему знак заменяется на знак х прямого произведения. Действительно, пересечение рассматриваемой группы с произведением является нормальной подгруппой в поэтому оно равно либо либо В первом случае т. е. множитель в произведении исчезает. Во втором случае произведение является прямым:

Согласно доказанному выше произведение (5) после вычеркивания ненужных групп приобретает форму прямого произведения:

Отсюда следует требуемое.