§ 87. Представления и модули представлений

Пусть К — некоторое тело.

Под представлением кольца о линейными преобразованиями или матрицами над телом К подразумевается произвольный гомоморфизм

где кольцо квадратных матриц порядка над К. Если гомоморфизм является изоморфизмом, то говорят, что имеет место точное представление.

Под модулем представления кольца о над К подразумевается «двойной модуль» для которого с служит областью левых мультипликаторов, К — областью правых мультипликаторов, обладающий следующими свойствами:

1. Модуль является модулем линейных форм над Н:

2. Для любых справедливо равенство

Последнее условие означает, что умножение на а является некоторым операторным гомоморфизмом -модуля т. е. некоторым линейным преобразованием. Это линейное преобразование

задается квадратной матрицей

Таким образом, каждому элементу а кольца о соответствует некоторая матрица А над телом К. В согласии с аксиомами модуля произведению и сумме двух элементов кольца о соответствуют произведение и сумма соответствующих им линейных преобразований, а потому и их матриц. Итак, отображение является представлением кольца .

Если, наоборот, задано представление кольца о линейными преобразованиями модуля линейных форм над телом К, то из можно сделать двойной модуль, в котором произведения и ее определены с помощью условий (2). Проверяется, что в этом случае все свойства двойного модуля и равенство (1) выполнены, так что модуль представления.

Итак, каждому модулю представления соответствует некоторое представление кольца о линейными преобразованиями или после выбора базиса над К — матрицами над телом обратно: каждому представлению соответствует некоторый модуль представления.

Если от базиса перейти с помощью равенства

к какому-нибудь другому базису то линейное преобразование, представлявшееся матрицей А, будет представляться матрицей

Элементу кольца а сопоставляется, таким образом, новая матрица в этом случае говорят об эквивалентном представлении. Поскольку переход к эквивалентному представлению является не чем иным, как переходом к другому базису в том же модуле представления (или операторно изоморфном ему), мы приходим к следующему выводу: изоморфным модулям представления соответствуют эквивалентные представления, и наоборот.

Система линейных преобразований модуля линейных форм в частности, какое-либо представление кольца, называется приводимой, если все преобразования этой системы переводят фиксированное подпространство в себя. В этом случае называется инвариантным подпространством. Если речь идет о представлении кольца , то можно рассматривать как двойной модуль относительно , а инвариантное подпространство — как множество, допускающее все элементы из о в качестве левых операторов. Отсюда следует, что

представление кольца приводимо тогда и только тогда, когда соответствующий модуль представления обладает (двойным) подмодулем

Чтобы выяснить, как выглядят матрицы приводимого представления, возьмем какой-нибудь -базис в и дополним его до -базиса модуля Таким образом,

Тот факт, что произвольное линейное преобразование переводит модуль в себя, означает, что образы элементов относительно такого преобразования вновь выражаются через

Положим тогда это преобразование представится следующей матрицей:

Следовательно, система матриц приводима тогда и только тогда, когда все матрицы системы могут быть одновременно приведены к виду (4) с помощью преобразования (выбор нового базиса).

Из (3) следует, что

Отсюда усматривается следующее:

Фиксируем в случае приводимого представления кольца о инвариантный подмодуль и фактормодуль и рассмотрим их как модули представления; тогда получающиеся при этом представления задаются частями указанными в матрице (4). Если мы выберем в максимальный инвариантный подмодуль в котором вновь выберем максимальный инвариантный подмодуль до получения композиционного ряда

то все матрицы представления с помощью подходящего выбора базиса приведутся к виду

Диагональные клетки задают представления, которые соответствуют композиционным факторам поскольку последние являются простыми двойными модулями (т. е. не содержат инвариантных подмодулей), соответствующие представления неприводимы. Процесс, приводящий к матрицам (6), называется «приведением» представления. По теореме Жордана — Гельдера (§ 51) композиционные факторы определены однозначно с точностью до порядка следования и операторного изоморфизма. Отсюда: неприводимые представления приведенного представления (6) определены однозначно с точностью до порядка следования и эквивалентности представлений.

Если в системе (3) отсутствуют коэффициенты то это означает, что не только но и является инвариантным подмодулем, а потому является прямой суммой двух инвариантных подмодулей Матрица (4), следовательно, выглядит так:

где соответствует представлению на представлению на В этом случае говорят, что представление а распадается на представление а

Если двойной модуль вполне приводим в смысле § 53, т. е. является прямой суммой простых двойных модулей, то получаемое с помощью представление задается матрицей

где отдельные клетки задают неприводимые представления, среди которых, конечно, могут быть и равные. Такое представление называется вполне приводимым.

Примеры, иллюстрирующие понятия этого параграфа, доставит теория отдельно рассматриваемой матрицы, помещенная в следующем параграфе.

(см. скан)

(см. скан)