§ 7. Подгруппы
Чтобы непустое подмножество
группы
само было группой с тем же законом композиции, что
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись аксиомы 1, 2, 3, 4. Аксиома 1 утверждает, что если
лежат в
то и их произведение
также лежит в
Аксиома 2 выполняется в
если она выполняется в
Аксиомы 3 и 4 означают, что в
лежит единичный элемент и что вместе с каждым элементом а в множестве
лежит обратный к нему элемент
. В данном случае требование о единичном элементе излишне, потому что если а — любой элемент из
то
лежит в
следовательно, произведение
также лежит в
Тем самым доказано:
для того чтобы непустое подмножество
данной группы
было подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1) множество
содержит вместе с любыми двумя своими элементами и их произведение;
2) множество
содержит вместе с каждым своим элементом а обратный к нему элемент а
Если, в частности, множество
конечно, то второе из этих требований даже излишне, потому что в этом случае требования 3 и 4 могут быть заменены на требование 6, а оно, будучи выполненным в (3, обязательно выполняется и в
Вообще, условия 1) и 2) можно объединить в одно: множество
должно вместе с любыми двумя своими элементами
содержать произведение
Тогда
содержит вместе с а и единицу
и обратный элемент
а потому вместе с
и элемент
и произведение
Если (в абелевой группе) групповые соотношения записаны аддитивно, то подгруппа характеризуется тем, что вместе с любыми двумя своими элементами
она содержит а
а имеете с а и элемента. Оба эти требования можно объединить в одно: вместе с
в подгруппе должен лежать элемент
Примеры подгрупп.
Каждая группа имеет в качестве подгруппы единичную группу
состоящую из одного-единственного единичного элемента.
Важнейшей подгруппой симметрической группы всех подстановок
объектов является знакопеременная группа состоящая из тех подстановок, которые, будучи применены к переменным
переводят функцию
в себя. Такие подстановки называются четными, а остальные — нечетными. Последние меняют знак у функции А. Каждая транспозиция (т. е. подстановка, меняющая местами две цифры) является нечетной подстановкой. Произведение двух четных или двух нечетных подстановок — четная подстановка; произведение четной и нечетной подстановки — нечетная подстановка. Из первого свойства следует, что — группа. Так как фиксированная транспозиция при умножении переводит четные подстановки в нечетные и наоборот, количество четных и нечетных подстановок одинаково и равно
(ср. § 6, задача 7).
Для более удобного описания подгрупп симметрической группы
используют известное представление подстановок, циклами:
Символом
обозначается циклическая подстановка, переводящая
и оставляющая все остальные объекты неподвижными. Легко показать, что любая подстановка представляется однозначно (с точностью до порядка следования) в виде произведения циклических подстановок или «циклов»:
где любые два цикла не имеют ни одного общего элемента. Сомножители
в этом произведении перестановочны Цикл из одного элемента, скажем (1), представляет тождественную подстановку. Конечно, имеет место равенство
С помощью таких символов мы можем следующим образом представить
подстановок группы
Все подгруппы в данном случае легко определяются. Вот они (кроме самой группы
Пусть
произвольные элементы некоторой группы
тогда, кроме группы в ней могут быть такие подгруппы, которые содержат элементы
Пересечение всех этих подгрупп снова является некоторой группой
Говорят, что
порождают группу
. Она обязательно содержит произведения типа
(составленные из конечного числа сомножителей с повторениями или без). Такие произведения образуют группу, которая содержит элементы
следовательно, включает в себя группу
. Поэтому она совпадает с Мы доказали следующее:
Группа, порожденная элементами
состоит из всевозможных конечных произведений этих элементов и элементов, обратных к ним.
В частности, отдельный элемент а порождает группу всех своих степеней
(включая
). Так как
эта группа абелева.
Группа, состоящая из степеней одного элемента, называется циклической.
Существуют две возможности. Либо все степени
различны; тогда циклическая группа
бесконечна. Либо они повторяются и оказывается, что
Тогда
Пусть в этом случае
наименьший положительный показатель, при котором
Тогда степени
различны, потому что иначе
а отсюда следовало бы, что
что противоречит выбору числа
Если произвольное целое число
представить в виде
то окажется, что
Таким образом, все степени элемента а уже встречаются в серии
Поэтому циклическая группа содержит в точности
элементов, а именно — элементы
Число
порядок циклической группы, порожденной элементом
— называется порядком элемента
. Если все степени элемента а различны, то а называется элементом бесконечного порядка.
Примеры. Целые числа
со сложением в качестве композиции образуют бесконечную циклическую группу. Описанные выше группы
являются циклическими группами порядков 2, 3.
(см. скан)
Определим теперь все подгруппы циклической группы. Пусть
произвольная циклическая группа с образующей а
подгруппа, состоящая не только из единицы. Если
содержит элемент
с отрицательным показателем, то и обратный к нему элемент лежит в
Пусть
элемент в
с наименьшим положительным показателем. Докажем, что все элементы из
являются степенями элемента
Действительно, если
произвольный элемент из
то можно вновь считать, что
Тогда
элемент из
Отсюда следует, что
в силу выбора числа
следовательно,
Таким образом, все элементы подгруппы
являются степенями элемента
Если элемент а имеет конечный порядок
т. е.
то элемент
должен лежать в
а потому число
должно