§ 7. Подгруппы

Чтобы непустое подмножество группы само было группой с тем же законом композиции, что необходимо и достаточно, чтобы выполнялись аксиомы 1, 2, 3, 4. Аксиома 1 утверждает, что если лежат в то и их произведение также лежит в Аксиома 2 выполняется в если она выполняется в Аксиомы 3 и 4 означают, что в лежит единичный элемент и что вместе с каждым элементом а в множестве лежит обратный к нему элемент . В данном случае требование о единичном элементе излишне, потому что если а — любой элемент из то лежит в следовательно, произведение также лежит в Тем самым доказано:

для того чтобы непустое подмножество данной группы было подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) множество содержит вместе с любыми двумя своими элементами и их произведение;

2) множество содержит вместе с каждым своим элементом а обратный к нему элемент а

Если, в частности, множество конечно, то второе из этих требований даже излишне, потому что в этом случае требования 3 и 4 могут быть заменены на требование 6, а оно, будучи выполненным в (3, обязательно выполняется и в

Вообще, условия 1) и 2) можно объединить в одно: множество должно вместе с любыми двумя своими элементами содержать произведение Тогда содержит вместе с а и единицу и обратный элемент а потому вместе с и элемент и произведение

Если (в абелевой группе) групповые соотношения записаны аддитивно, то подгруппа характеризуется тем, что вместе с любыми двумя своими элементами она содержит а а имеете с а и элемента. Оба эти требования можно объединить в одно: вместе с в подгруппе должен лежать элемент

Примеры подгрупп.

Каждая группа имеет в качестве подгруппы единичную группу состоящую из одного-единственного единичного элемента.

Важнейшей подгруппой симметрической группы всех подстановок объектов является знакопеременная группа состоящая из тех подстановок, которые, будучи применены к переменным переводят функцию

в себя. Такие подстановки называются четными, а остальные — нечетными. Последние меняют знак у функции А. Каждая транспозиция (т. е. подстановка, меняющая местами две цифры) является нечетной подстановкой. Произведение двух четных или двух нечетных подстановок — четная подстановка; произведение четной и нечетной подстановки — нечетная подстановка. Из первого свойства следует, что — группа. Так как фиксированная транспозиция при умножении переводит четные подстановки в нечетные и наоборот, количество четных и нечетных подстановок одинаково и равно (ср. § 6, задача 7).

Для более удобного описания подгрупп симметрической группы используют известное представление подстановок, циклами:

Символом обозначается циклическая подстановка, переводящая и оставляющая все остальные объекты неподвижными. Легко показать, что любая подстановка представляется однозначно (с точностью до порядка следования) в виде произведения циклических подстановок или «циклов»:

где любые два цикла не имеют ни одного общего элемента. Сомножители

в этом произведении перестановочны Цикл из одного элемента, скажем (1), представляет тождественную подстановку. Конечно, имеет место равенство

С помощью таких символов мы можем следующим образом представить подстановок группы

Все подгруппы в данном случае легко определяются. Вот они (кроме самой группы

Пусть произвольные элементы некоторой группы тогда, кроме группы в ней могут быть такие подгруппы, которые содержат элементы Пересечение всех этих подгрупп снова является некоторой группой Говорят, что порождают группу . Она обязательно содержит произведения типа (составленные из конечного числа сомножителей с повторениями или без). Такие произведения образуют группу, которая содержит элементы следовательно, включает в себя группу . Поэтому она совпадает с Мы доказали следующее:

Группа, порожденная элементами состоит из всевозможных конечных произведений этих элементов и элементов, обратных к ним.

В частности, отдельный элемент а порождает группу всех своих степеней (включая ). Так как

эта группа абелева.

Группа, состоящая из степеней одного элемента, называется циклической.

Существуют две возможности. Либо все степени различны; тогда циклическая группа

бесконечна. Либо они повторяются и оказывается, что

Тогда

Пусть в этом случае наименьший положительный показатель, при котором Тогда степени различны, потому что иначе

а отсюда следовало бы, что

что противоречит выбору числа

Если произвольное целое число представить в виде

то окажется, что

Таким образом, все степени элемента а уже встречаются в серии Поэтому циклическая группа содержит в точности элементов, а именно — элементы

Число порядок циклической группы, порожденной элементом — называется порядком элемента . Если все степени элемента а различны, то а называется элементом бесконечного порядка.

Примеры. Целые числа

со сложением в качестве композиции образуют бесконечную циклическую группу. Описанные выше группы являются циклическими группами порядков 2, 3.

(см. скан)

Определим теперь все подгруппы циклической группы. Пусть произвольная циклическая группа с образующей а подгруппа, состоящая не только из единицы. Если содержит элемент с отрицательным показателем, то и обратный к нему элемент лежит в Пусть элемент в с наименьшим положительным показателем. Докажем, что все элементы из являются степенями элемента Действительно, если произвольный элемент из то можно вновь считать, что

Тогда элемент из Отсюда следует, что в силу выбора числа следовательно, Таким образом, все элементы подгруппы являются степенями элемента

Если элемент а имеет конечный порядок т. е. то элемент должен лежать в а потому число должно

делиться на Подгруппа состоит в таком случае из элементов и имеет порядок Но если а имеет бесконечный порядок, то и группа состоящая из элементов, имеет бесконечный порядок. Тем самым мы доказали следующее:

Подгруппа циклической группы снова циклическая. Она состоит либо из единицы, либо из степеней элемента с наименьшим возможным положительным показателем Другими словами, она состоит из степеней элементов исходной группы, При этом для бесконечной циклической группы число произвольно, в то время как для циклической группы конечного порядка число должно быть некоторым делителем числа . В этом случае подгруппа имеет порядок Для каждого такого числа существует одна и только одна подгруппа порядка в группе а именно