§ 46. Простота алгебраических расширений. Теорема о примитивном элементе
Выясним теперь, в каких случаях конечное расширение
поля А является простым, т. е. получается присоединением одного единственного порождающего или примитивного элемента. Ответом на этот вопрос является следующая теорема о примитивном элементе, справедливая для довольно широкого класса случаев. Ее формулировка такова;
Из равенства
то же самое следует для а, так что, действительно,
Тем самым наша теорема доказана для
Если считать ее доказанной для
то
и, следовательно,
в соответствии с уже доказанной частью теоремы; тем самым теорема получается и для
Следствие. Каждое конечное сепарабельное расширение является простым.
Эта теорема существенно упрощает изучение конечных сепарабельных расширений, потому что строение и изоморфизмы этих расширений очень легко описываются через представление базисов
Например, мы имеем теперь новое доказательство утверждения из § 44 (петит), доказанного там посредством последовательного продолжения изоморфизмов: конечное сепарабельное расширение 2 поля
имеет столько же изоморфизмов над А, какова степень
Действительно, для простых сепарабельных расширений это утверждение уже было доказано в § 44, а, как мы теперь знаем, всякое конечное сепарабельное расширение является простым.