§ 46. Простота алгебраических расширений. Теорема о примитивном элементе

Выясним теперь, в каких случаях конечное расширение поля А является простым, т. е. получается присоединением одного единственного порождающего или примитивного элемента. Ответом на этот вопрос является следующая теорема о примитивном элементе, справедливая для довольно широкого класса случаев. Ее формулировка такова;

Пусть конечное алгебраическое расширение поля сепарабельные элементы. Тогда является простым расширением:

Доказательство. Докажем теорему сначала для двух элементов которых по крайней мере сепарабелен. Пусть неразложимое уравнение для элемента неразложимое уравнение для элемента Перейдем к полю, в котором полностью разлагаются. Пусть различные корни многочлена корни многочлена Пусть

Мы можем предположить, что поле бесконечно; в противном случае поле также было бы конечным, а для конечных полей существование примитивного элемента (даже примитивного корня из едитщы, степенями которого являются все ненулевые элементы поля) уже было доказано в § 43.

Для имеет место неравенство поэтому уравнение

при каждом и каждом имеет самое большее один корень Выберем элемент с отличным от всех корней этих линейных уравнений; тогда для всех

Положим

Тогда является элементом поля Докажем, что обладает свойством искомого примитивного элемента: Элемент удовлетворяет уравнениям

коэффициенты которых лежат в Многочлены имеют общим лишь корень потому что для остальных корней первого уравнения имеем

и, следовательно,

Элемент является простым корнем многочлена следовательно, имеют общим лишь один линейный множитель Коэффициенты этого наибольшего общего делителя должны лежать в ; следовательно, лежит в

Из равенства то же самое следует для а, так что, действительно,

Тем самым наша теорема доказана для Если считать ее доказанной для то

и, следовательно,

в соответствии с уже доказанной частью теоремы; тем самым теорема получается и для

Следствие. Каждое конечное сепарабельное расширение является простым.

Эта теорема существенно упрощает изучение конечных сепарабельных расширений, потому что строение и изоморфизмы этих расширений очень легко описываются через представление базисов

Например, мы имеем теперь новое доказательство утверждения из § 44 (петит), доказанного там посредством последовательного продолжения изоморфизмов: конечное сепарабельное расширение 2 поля имеет столько же изоморфизмов над А, какова степень Действительно, для простых сепарабельных расширений это утверждение уже было доказано в § 44, а, как мы теперь знаем, всякое конечное сепарабельное расширение является простым.