Глава одиннадцатая. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ

При изучении полей алгебраических чисел важны некоторые неалгебраические свойства чисел, например, абсолютное значение вещественность, положительность. То, что эти свойства определяются с помощью алгебраических операций не однозначно, может быть показано на следующем примере.

Пусть поле рациональных чисел и некоторый вещественный и, значит, чисто мнимый корень уравнения При изоморфизме

сохраняются все алгебраические свойства, но этот изоморфизм переводит вещественное число в чисто мнимое число положительное число — в отрицательное число в то время как число с модулем, большим 1, переводится в число с модулем, меньшим 1.

Однако в ходе дальнейшего исследования мы увидим, что этим неалгебраическим свойствам присущи некоторые алгебраические черты, а именно: в поле алгебраических чисел (т. е. в алгебраически замкнутом алгебраическом расширении поля можно выделить не одно подполе, а целое семейство подполей, каждое из которых алгебраически эквивалентно полю вещественных алгебраических чисел, и это семейство можно охарактеризовать алгебраическими свойствами. При определенном выборе такого поля, элементы которого можно определить как «вещественные», модули и положительность вводятся чисто алгебраически.

Но прежде чем перейти к этой алгебраической теории, напомним обычное в анализе введение вещественных и комплексных чисел; мы сделаем это не по причинам логической необходимости, а для того, чтобы была яснее соответствующая задача чисто алгебраической теории, предполагающей уже известным факт существования вещественных и комплексных чисел, а также ввиду принципиального значения понятий упорядочения и фундаментальной последовательности,