§ 145. Нормирование алгебраических расширений: общий случай

Пусть К — произвольное нормированное поле и А — некоторое алгебраическое расширение этого поля. Обратимся вновь к следующему вопросу: как и сколькими способами заданное на К нормирование может быть продолжено на

Для простоты мы ограничимся сначала простым расширением Элемент 9 будет корнем неразложимого многочлена из

Перейдем от К к пополнению и построим поле разложения 2 многочлена над . Согласно § 144 нормирование поля однозначно продолжается до некоторого нормирования поля .

Под вложением поля А в поле мы подразумеваем некоторый изоморфизм а, который переводит поле на подполе поля и при этом оставляет неподвижными все элементы из К. Разумеется, изоморфизм а переводит элемент 6 в некоторый корень 6 многочлена и этим полностью определяется. Мы утверждаем теперь следующее:

Каждое вложение поля А в поле 2 определяет некоторое нормирование на А. Действительно, подполе А в 2 автоматически оказывается нормированным, а с помощью изоморфизма нормирование с А переносится на А. Очевидно, что полученное

таким образом нормирование на продолжает нормирование на К.

Мы утверждаем далее следующее:

Каждое нормирование поля продолжающее нормирование поля К, может быть получено описанным способом при вложении в 2.

Доказательство. Построим пополнение поля Оно содержит пополнение поля К, а также элемент 6; следовательно, оно содержит поле Это последнее можно расширить до поля разложения многочлена которое будет изоморфно полю разложения 2. Изоморфизм переводит в некоторое подполе в 2, оставляя элементы из на месте и при этом переводя нормирование поля в однозначно определенное нормирование поля

Ограничение случаем простых расширений несущественно для доказательства. Если вместо элемента рассматривать конечное множество алгебраических элементов присоединяемых к основному полю и являющихся корнями многочленов из то в качестве 2 нужно взять поле разложения произведения и проводить рассуждения так же, как это было сделано выше. Если бесконечное алгебраическое расширение поля К, то в качестве 2 берется алгебраически замкнутое расширение поля Доказательство остается прежним.

Вернемся теперь к случаю простого расширения и разложим определяющий многочлен из на неразложимые множители:

Каждый изоморфизм а поля переводит 6 в некоторый корень какого-то из множителей Каждому соответствует некоторое расширение где произвольный корень многочлена какой именно, не важно, потому что все корни неразложимого многочлена сопряжены.

Если изоморфизм а переводит элемент в элемент а элементы из К оставляет на месте, то каждый многочлен переводится им в многочлен чем упомянутый изоморфизм и определяется. Следовательно, всевозможные вложения поля в 2 определяются заданием соответствия

Но этим же задаются и нормирования: если задано значение произвольного элемента то нужно взять сопряженный элемент и вычислить его значение в соответствии с § 144:

где степень многочлена норма в поле

Таким образом, существует столько же продолжений нормирования сколько неразложимых множителей у многочлена из