§ 55. Простота знакопеременной группы

В § 51 мы видели, что симметрические группы разрешимы. В противоположность этому, все последующие симметрические группы разрешимыми не являются. Правда, в них всегда есть нормальная подгруппа индекса — знакопеременная группа однако композиционный ряд каждой из них переходит от сразу к в соответствии со следующей теоремой:

Теорема. Знакопеременная группа проста.

Нам понадобится

Лемм а. Если нормальная подгруппа группы содержит цикл из трех элементов, то

Доказательство леммы. Пусть содержит цикл (1 2 3). Тогда в должен содержаться и квадрат этого цикла (2 1 3) и все трансформированные из этого цикла элементы:

Возьмем где тогда

Таким образом, подгруппа содержит все циклы вида Но такие циклы порождают всю группу (§ 10, задача 4). Следовательно,

Доказательство теоремы. Пусть произвольная отличная от нормальная подгруппа в Мы должны доказать, что

Выберем в подстановку которая, будучи отличной от 1, оставляет неподвижными наибольшее возможное количество чисел из тех, на которые действуют подстановки из данной симметрической группы. Покажем, что переставляет в точности три числа, а остальные не сдвигает с места.

Сначала предположим, что переставляет в точности 4 элемента. Тогда является произведением двух транспозиций, потому что просто нет другого способа построить четную подстановку, которая переставляет в точности 4 элемента. Следовательно, пусть

По условию поэтому подстановку можно трансформировать с помощью подстановки и получить

Произведение является тройным циклом (3 4 5) и, следовательно, переставляет меньше чисел, чем что противоречит выбору

Предположим далее, что переставляет более 4 чисел. Вновь запишем в виде произведения циклов, причем начнем с наиболее длинного; например,

или, если самый длинный цикл состоит из трех чисел,

или, если в подстановку входят лишь двойные циклы,

Трансформируем с помощью подстановки

получим подстановку

которая в каждом из трех названных случаев имеет такой вид:

Во всех этих случаях так что Подстановка в первом и третьем случаях оставляет неподвижными все числа потому что для них Во втором же случае

оставляет неподвижным все числа, кроме 1, 2, 3, 4 и 5;

таким образом, эта подстановка переставляет лишь пять чисел, в то время как переставляет более пяти чисел.

Таким образом, во всех случаях подстановка переставляет меньше чисел, чем что противоречит выбору Следовательно, подстановка может переставлять лишь три числа. Но тогда является тройным циклом и, согласно лемме, Теорема полностью доказана.

(см. скан)