§ 77. Упорядоченные поля

В этом параграфе аксиоматически исследуется первое неалгебраическое свойство — положительность, а также основанное на нем понятие упорядочения.

Поле К называется упорядоченным, если для его элементов определено свойство быть положительным (обозначается: удовлетворяющее следующим условиям:

1. Для каждого элемента а из К имеет место ровно одно из соотношений:

Если — то мы говорим, что элемент а отрицателен.

Если в некотором упорядоченном поле мы определим соотношение

как имеющее место тогда и только тогда, когда то без труда показывается, что получится упорядочение, удовлетворяющее аксиомам. В самом деле для любых двух элементов либо либо либо Из и следует, что так что следовательно, Далее, как и в § 3, имеет место следующее правило: из следует, что а в случае и соотношение Наконец, если положительны, то из следует, что наоборот), так как

Будем подразумевать под абсолютной величиной или модулем произвольного элемента а некоторого упорядоченного поля неотрицательный из элементов а и —а; тогда будут выполнены следующие правила:

Первое без труда проверяется для всех четырех возможных случаев:

Второе правило, очевидно, имеет место при одинаковых знаках, как в этом случае обе части соотношения (левая и правая)

являются неотрицательными элементами, равными при при Из четырех возможных случаев остается рассмотреть лишь оставшиеся два; достаточно рассмотреть один из них: . В этом случае

и, следовательно,

Кроме того,

со знаком равенства лишь при Отсюда следует, что сумма квадратов обязательно больше или равна нулю, причем равна нулю лишь при нулевых слагаемых.

В частности, элемент всегда положителен, как и суммы Поэтому никогда не может быть выполненным равенство Следовательно: характеристика упорядоченного поля равна нулю.

Лемма. Если К — поле частных кольца и кольцо упорядочено, то поле К можно упорядочить и притом только одним способом так, чтобы полученное упорядочение на совпадало с исходным.

Действительно, пусть К упорядочено нужным способом. Произвольный элемент из К имеет вид и с лежат в Из

с помощью умножения на следует, что

Тем самым любой порядок на К однозначно определяется упорядочением на Обратно, легко показывается, что с помощью условия:

упорядочение на К фактически определяется и при этом сохраняется упорядочение на

В частности, поле рациональных чисел может быть упорядочено только одним способом, потому что кольцо целых чисел допускает, очевидно, только один— естественный — порядок. Таким образом, если натуральное число. Каждое упорядоченное поле содержит поле и сохраняет на последнем его естественный порядок.

Два упорядоченных поля называют порядково изоморфными, если существует изоморфизм между этими полями, переводящий положительные элементы в положительные.

Упорядоченное поле называется архимедовым, если при заданном упорядочении для каждого элемента поля а существует «натуральное число» Тогда для каждого а есть и число для каждого положительного а существует дробь Например, поле рациональных чисел архимедово. Если упорядоченное поле не является архимедовым, то существуют «бесконечно большие» элементы, превосходящие каждое рациональное число, и «бесконечно малые», которые превосходят нуль, но меньше любого рационального числа.

Литература о неархимедовых полях Артини Шрайер (Artin Е , Schreiег О) Algebraische Kontruktion reeler Korper -Abh Math Sem Univ. Hamburg, 1926,5, S. 83-115, Бэр (Baer R) Uber mchtdrchimedisch geor-dnete Korper.-Sitzungsber Heidelb. Akad , 1927 8 Abh

(см. скан)