§ 50. Две теоремы об изоморфизме

Естественный гомоморфизм, который отображает группу на факторгруппу отображает каждую подгруппу из на некоторую подгруппу из и тоже гомоморфно. Если исходить из и найти в всю совокупность элементов, образы которых (или смежные классы которых) принадлежат то, вообще говоря, в окажется больше элементов, чем в

потому что вместе с каждым а из множество содержит весь смежный класс Обозначим через группу, которая получается из всевозможных произведений где а — элемент из и элемент из (ср. задачу 2 из § 48); тогда Сдругой стороны, если гомоморфно отображается на то изоморфна факторгруппе группы по некоторой нормальной подгруппе в которая состоит из элементов группы соответствующих единичному элементу, т. е. тех элементов из которые одновременно принадлежат и Отсюда получается первая теорема об изоморфизме:

Если нормальная подгруппа группы — подгруппа в то пересечение является нормальной подгруппой в и

Совокупность элементов, отображающихся в тогда и только тогда совпадает с когда группа вместе с каждым своим элементом а содержит и весь смежный класс т. е. тогда, когда

Эти группы взаимно однозначно соответствуют описанным группам Вместе с тем каждая подгруппа соответствует подгруппе состоящей из всех элементов всех содержащихся в смежных классов по подгруппе Наконец, правым и левым смежным классам по подгруппе соответствуют правые и левые смежные классы по Следовательно, если нормальная подгруппа в то нормальная подгруппа в и наоборот. Аналогичное рассуждение, с некоторыми изменениями, используется при доказательстве второй теоремы об изоморфизме:

Если нормальная подгруппа в то соответствующая подгруппа является нормальной и

Доказательство. Если гомоморфно отображается на в свою очередь, на то и гомоморфно отображается на Следовательно, группа изоморфна факторгруппе группы по нормальной поцгруппе, состоящей из тех элементов группы которые при гомоморфизме переходят в единичный элемент, т. е. при первом гомоморфизме эти элементы переходят в группу Этой нормальной подгруппой и является Доказательство окончено.

Изоморфизм (1) можно записать и так:

(см. скан)