§ 52. Группы порядка p^n

Под центром группы или кольца подразумевается множество таких элементов этой группы или этого кольца, которые перестановочны со всеми элементами:

Центр группы является группой и даже нормальной подгруппой в Центром кольца является подкольцо.

Пусть простое число, натуральное число и некоторая группа порядка Покажем, что центр группы не может состоять только из единичного элемента.

Рассмотрим разбиение группы на классы сопряженных элементов (§ 9, задача 7). Чему равно число элементов в одном таком классе?

Пусть а — произвольный групповой элемент. Два элемента сопряженные с а, равны тогда и только тогда, когда произведение перестановочно с а:

Групповые элементы, перестановочные с а, составляют некоторую подгруппу называемую нормализатором элемента а. Если принадлежит группе то с лежит в смежном классе Обратно: если с лежит в то можно положить и тогда

Таким образом, каждому смежному классу соответствует некоторый сопряженный элемент наоборот. Число различных элементов, сопряженных с элементом а, равно числу смежных классов, т. е. равно индексу группы в группе Индекс всегда является делителем порядка группы. В частности, если а — элемент центра, то и класс состоит из одного лишь элемента а. Во всех остальных случаях число элементов класса больше единицы.

Пусть теперь некоторая -группа, т. е. группа порядка Тогда число элементов в любом классе равно делителю числа т. е. является степенью числа Порядок группы равен сумме мощностей отдельных классов, т. е. сумме некоторых степеней числа

Если бы единица была единственным элементом центра, то в сумме справа участвовало бы лишь одно слагаемое 1, а все остальные делились бы на Тогда левая часть в (1) делилась бы на а правая — нет, что невозможно. Следовательно, центр любой -группы не может состоять из одного единичного элемента.

Может оказаться так, что центр является всей группой, тогда группа абелева. В противном же случае можно построить факторгруппу Она вновь является -группой и, следовательно, обладает неединичным центром Продолжая таким образом, мы получим возрастающую последовательность центров

Так как каждый ее член имеет больший порядок, чем предыдущий, последовательность должна закончиться через некоторое конечное число членов равенством Факторгруппы все абелевы; поэтому:

Каждая группа порядка разрешима.