§ 157. Доказательство теоремы о вычетах

Следующим ниже доказательством я обязан любезному сообщению П. Рокетта. Оно проходит для любого совершенного основного поля, но здесь излагается только для случая, когда поле алгебраически замкнуто.

Пусть опять элемент выбран так, что К сепарабельно над Положим тогда К — конечное сепарабельное расширение поля и мы можем положить

Если в (1) из § 145 сравнить слева и справа коэффициенты при то получится

Такие же формулы имеют место не только для порождающего элемента 9, но и для произвольного элемента и из К. Чтобы в этом убедиться, вычислим сначала норму и след элемента и в поле Обозначим их соответственно через тогда для и имеют место соотношения, которые выше были доказаны для 6:

Применим теперь формулы (16) и (17) из § 47; получится:

где степень поля К над Таким образом, имеют место общие формулы:

Посмотрим, как определяются элементы и Согласно § 145 нормирования поля К, продолжающие заданное нормирование поля определяются вложениями Каждое

такое вложение изоморфно отображает поле в некоторое полное нормированное поле - пополнение поля К относительно нормирования

Будем говорить не о нормированиях, а о плейсах. Плейсы поля К будут обозначаться через а плейсы поля — через Если нормирование поля К, соответствующее плейсу является продолжением некоторого нормирования поля соответствующего плейсу то мы называем делителем плейса и пишем Каждый плейс имеет лишь конечное число делителей соответствующих множителям в (1) из § 145. Каждому плейсу соответствует пополнение состоящее из степенных рядов по униформизирующей этого плейса. Если каждой функции и сопоставить ее степенной ряд то получится описанный выше изоморфизм

Норма построенная в над полем называется также локальной нормой функции и относительно плейса и обозначается через То же самое можно сказать и о следе. Формулы (7) и (8) могут быть теперь записаны так:

Вектор V над полем К был определен как система компонент каждая из которых сопоставлена своему плейсу Мы можем определить след произвольного вектора V как некоторый вектор над полем удовлетворяющий равенству

Следы в правой части при этом берутся в пополнениях над В частности, возьмем в качестве V вектор, соответствующий какой-нибудь функции и; тогда в силу (10) след будет равен

Взятие следа является линейным отображением модуля всех векторов над К в модуль векторов над Поэтому существует двойственное отображение модуля ковекторов над в модуль ковекторов над К, которое определяется следующим образом:

В частности, если дифференциал в смысле Вейля, т. е. для всех из то тоже дифференциал в смысле

Вейля:

Мы докажем теорему о вычетах сначала для поля рациенальных функций Пусть классический дифференциал в Рациональная функция

распадается прежде всего в сумму некоторого многочлена и дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя:

Дифференциал не имеет вычетов. Униформизирующая относительно плейса равна

а в это выражение не входит ни одно слагаемое с

Оставшаяся дробь, согласно § 36, может быть разложена на простейшие дроби:

Следовательно, достаточно доказать теорему о вычетах для одной простейшей дроби с При вычетов нет совсем, так что достаточно рассмотреть лишь дифференциал

Относительно плейса этот дифференциал имеет вычет с, а относительно плейса вычет — с. Сумма вычетов, таким образом, равна нулю, и теорема в этом случае доказана.

Общий случай теоремы о вычетах сводится к рассмотренному выше случаю с помощью отображения, двойственного к взятию следа.

Вычет дифференциала относительно плейса обозначим через Если V — вектор, то вычет произведения обозначим через

На основании формулы (14) § 156 дифференциал определяет некоторый ковектор который мы обозначим через Следовательно, для каждого вектора V имеет место равенство

Назовем два ковектора почти равными, если в определенных с помощью (4) из § 152 произведениях слагаемые, соответствующие отдельным плейсам соответственно равны (для всех V), за исключением, быть может, конечного множества плейсов Имеет место

Теорема. Существует дифференциал Вейля который почти равен Этим свойством определяется однозначно.

Доказательство. Дифференциал определяет в поле рациональных функций некоторый ковектор V Так как в имеет место теорема о вычетах, то является дифференциалом Вейля. Тогда и дифференциал Вейля. Обозначим его через

Каждому плейсу поля К соответствует некоторый плейс поля Если униформизирующая или относительно плейса одновременно является униформизирующей относительно то говорят, что плейс у не разветвлен над Тогда можно положить а (или Пополнение соответствующее плейсу в этом случае просто равно полю степенных рядов от и вычет степенного ряда относительно равен вычету относительно

Почти все плейсы т. е. все, кроме конечного числа, не разветвлены в Действительно, если и неразложимый по многочлен с корнем 0, то можно рассматривать как многочлен от Дискриминант многочлена является многочленом от который имеет лишь конечное множество корней. Для всех остальных значений многочлен разлагается в произведение различных неразложимых множителей:

Отсюда в силу леммы Гензеля (§ 144) следует, что в полном поле степенных рядов по полностью разлагается на линейные множители. В разложении (1) из § 145 все множители являются, таким образом, линейными и все поля равны Но тогда является униформизирующей относительно всех плейсов, отвечающих этим полям. Следовательно, все эти плейсы не разветвлены.

Если плейс не разветвлен, то он дает одинаковые слагаемые для ковекторов Действительно, если V — вектор, который только относительно этого плейса отличен от нуля, то можно считать V степенным рядом по или Локальный след вектора V тогда равен самому вектору V и

Отсюда следует, что почти равен

Остается показать единственность ковектора Докажем нечто более общее: если два дифференциала Вейля почти равны, то они равны в обычном смысле.

Пусть Докажем, что равно нулю для произвольного вектора Скалярное произведение согласно (4) из § 152, является суммой слагаемых, соответствующих плейсам При этом мы можем ограничиться рассмотрением лишь слагаемых, соответствующих плейсам из некоторого конечного множества потому что слагаемые, соответствующие остальным плейсам заведомо равны нулю. Для плейсов из множества мы можем аппроксимировать V с помощью некоторой функции и из К, причем настолько точно, что слагаемые, соответствующие этим плейсам в выражении обратятся в нуль § 149, теорема I). Но тогда

и, следовательно, так как дифференциал Вейля. Тем самым теорема полностью доказана.

Пусть у — другой элемент, для которого К сепарабельно над Докажем равенство

Так как обе части этого равенства являются дифференциалами Вейля, достаточно показать, что обе части почти равны. Но почти равен почти равен Следовательно, достаточно доказать, что

Но это получается непосредственно из определения (13):

Наконец, покажем, что

Пусть произвольный плейс и — некоторая униформизирующая. В § 156 было доказано, что элемент является сепарабельным над Так как К сепарабельно над сепарабельно над то поле К сепарабельно над Далее, плейс неразветвлен над так что -компоненты ковекторов равны:

Отсюда следует, что

Так как это имеет место для каждого плейса то мы получили утверждение (16).

Поскольку является дифференциалом Вейля, то таков и ковектор а отсюда следует теорема о вычетах.