Глава шестнадцатая. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ

В этой главе общая теория идеалов будет применена к кольцам многочленов где К — произвольное поле. Кроме общей теории идеалов, будут предполагаться известными главы 1—6 и 10.

§ 126. Алгебраические многообразия

Пусть — произвольное расширение основного поля Набор из элементов поля называется тонкой I аффинного пространства Точка называется корнем многочлена из кольца если

Под алгебраическим многообразием в аффинном пространстве подразумевается множество всех общих корней некоторого конечного числа многочленов т. е. множество решений уравнений

Если из многочленов построить идеал то ясно, что общие корни многочленов являются корнями всех многочленов

идеала а; таким образом, многообразие может быть охарактеризовано и как множество общих корней всех многочленов данного идеала или, как мы будем говорить, корней идеала а. То, что в данном случае в идеале а фиксирован конечный базис, не накладывает никаких ограничений на идеал а в силу теоремы Гильберта о базисе (§ 115). Итак: всякое многообразие состоит из корней некоторого идеала а кольца в аффинном пространстве Множество называют многообразием (или многообразием корней) идеала а.

Любой делитель идеала а, т. е. любой идеал с, содержащий идеал определяет некоторое подмногообразие в Однако может оказаться, что разные идеалы определяют одно и то же многообразие Среди всех таких идеалов один является особенно важным, а именно — множество всех многочленов обращающихся в нуль во всех точках многообразия Очевидно,

это множество является некоторым идеалом Идеал называют соответствующим многообразию Многообразием идеала вновь является само так что определяется с помощью однозначно (и наоборот).

В кольце выполняется теорема о цепях делителей, а потому выполнено условие максимальности (§ 115). Отсюда следует:

Принцип минимальности для многообразий. В каждом непустом множестве многообразий существует некоторое минимальное многообразие т. е. многообразие, в котором не содержится ни одно другое многообразие данного множества.

Доказательство. Каждое многообразие имеет свой идеал и различным многообразиям соответствуют различные идеалы В множестве этих идеалов существует максимальный идеал который соответствует некоторому многообразию Многообразие и является минимальным в данном множестве.

Если многочлен принимает во всех точках многообразия нулевое значение, то говорят, что многочлен содержит многообразие (так как и в самом деле многообразие содержит многообразие Таким образом, идеал многообразия состоит из всех многочленов, содержащих

Пересечение двух многообразий вновь является многообразием. Действительно, если состоит из корней идеала из корней идеала то состоит из корней идеала

Объединение многообразий также является многообразием. Действительно, оно определяется пересечением (или произведением Прежде всего, каждая точка объединения является корнем всех многочленов из а или корнем всех многочленов из таким образом, это в любом случае — корень всех многочленов из (и, в частности, из Если же какая-либо точка не принадлежит объединению то в а существует многочлен существует многочлен которые не обращаются в нуль в точке но тогда произведение принадлежащее не обращается в в нуль, а потому не есть корень пересечения (или произведения Следовательно, корни пересечения (как и произведения — это точки объединения и только они.

Начиная с этого места, условимся, как это обычно делается в алгебраической геометрии, о том, что рассматриваемые многообразия не пусты.

Многообразие которое можно представить в виде объединения двух (непустых) собственных подмногообразий, называется

составным или приводимым. Если хотят подчеркнуть, что оба подмногообразия определяются уравнениями с коэффициентами из основного поля К, то говорят: многообразие приводимо над полем К. Многообразие, не являющееся приводимым, называется неприводимым или неразложимым (над основным полем К).

Критерий. Многообразие является неприводимым над К тогда и только тогда, когда соответствующий идеал прост, т. е. когда из того, что содержит следует, что или содержит

Доказательство. Сначала предположим, что приводимо: где собственные подмногообразия в В идеале многообразия существует многочлен не содержащий так как иначе имело бы место включение Точно так же в идеале многообразия существует многочлен не содержащий Произведение содержит и а потому и Следовательно, идеал многообразия не является простым.

Теперь предположим, что неприводимо. Если существует произведение содержащее но при этом ни ни не содержит то можно представить как объединение двух собственных подмногообразий и которые определяются следующим образом: состоит из всех точек многообразия удовлетворяющих уравнению состоит из всех точек многообразия удовлетворяющих уравнению Каждая точка многообразия принадлежит тогда или потому что из следует, что или Это противоречит предположению о неприводимости многообразия

Точно так же доказывается утверждение:

Если неприводимое многообразие содержится в объединении двух многообразий то содержится или в или в

Соответствующее утверждение имеет место и тогда, когда содержится в объединении нескольких многообразий

Теорема о разложении. Каждое многообразие определенное над полем К, представляется в виде объединения конечного числа неприводимых над К многообразий.

Доказательство. Предположим, что существуют многообразия которые не представляются в виде объединения неприводимых многообразий; тогда среди этих существует минимальное многообразие Оно должно быть приводимым, а потому представляться в виде объединения двух собственных подмногообразий В силу предположений минимальности многообразия подмногообразия должны представляться в виде объединения неприводимых многообразий; но тогда таким является и что противоречит предположению. Тем самым доказана теорема о разложении.

Если из разложения

удалить все лишние члены, то полученное разложение будет единственным с точностью до порядка следования многообразий. Действительно, если

— второе разложение, то содержится в объединении многообразий а потому в силу своей неприводимости — в одном из многообразий которое при подходящей нумерации можно считать многообразием Точно так же содержится в одном из

Если бы было то многообразие в (1) было бы лишним; следовательно, Точно так же получается а этим и доказывается единственность разложения.

Те же самые теоремы имеют место и тогда, когда рассматриваются точки принадлежащие лишь некоторой фиксированной части аффинного пространства См. Габихт (Habicht W.). Topologische Eigenschaften algebraischer Mannigfaltigkeiten. - Math. Ann., 122, S, 181.

О разложении неприводимого над К многообразия при расширении основного поля см. мою работу Uber A. Weils Neubegriindung der algebraischen Geometric. -Abb. Math. Sem. Univ. Hamburg, 22, S. 158.