§ 58. Основная теорема теории Галуа

Основная теорема звучит так:

1. Каждому промежуточному полю соответствует некоторая подгруппа группы Галуа а именно, совокупность тех автоморфизмов из которые оставляют на месте все элементы из А. 2. Поле А определяется подгруппой однозначно; именно, поле А является совокупностью тех элементов из 2, которые «выдерживают» все подстановки из т. е. остаются инвариантными при этих подстановках, 3. Для каждой подгруппы группы можно найти поле А, которое находится с подгруппой в только что описанной связи. 4. Порядок подгруппы равен степени поля 2 над полем индекс подгруппы в группе равен степени поля А над полем К.

Доказательство. Совокупность автоморфизмов поля 2, оставляющих на месте каждый элемент из А, является группой Галуа поля 2 над А, т. е. некоторой группой. Тем самым доказано утверждение 1. Утверждение 2 следует из последней теоремы § 57, примененной к 2 как расширению и А как основному полю. Несколько более трудным является утверждение 3,

Пусть опять и пусть заданная подгруппа группы Обозначим через совокупность элементов из , которые при всевозможных подстановках из переходят в себя. Очевидно, множество А является полем, потому что если остаются неподвижными при подстановке то неподвижными при этой подстановке будут и в случае

Далее, имеет место включение Группа Галуа поля 2 над полем А содержит подгруппу так как подстановки из оставляют неподвижными элементы из А. Если бы группа Галуа поля 2 над А содержала больше элементов, чем входит в то степень была бы больше, чем порядок подгруппы Эта степень равна степени элемента над полем А, так как Если подстановки из то является одним из корней уравнения степени

коэффициенты которого остаются инвариантными при действии группы о, а потому принадлежат полю А. Следовательно, степень элемента 6 над А не больше, чем порядок подгруппы Таким образом, остается лишь одна возможность: подгруппа является в точности группой Галуа поля над полем Тем самым утверждение 3 доказано.

Наконец, если порядок группы порядок подгруппы индекс этой подгруппы, то

откуда

Этим доказывается утверждение 4.

Согласно только что доказанной теореме связь между подгруппами и промежуточными полями А является взаимно однозначным соответствием. Возникает следующий вопрос: как найти подгруппу когда известно А, и как найти А, когда известна подгруппа

Первое очень просто. Предположим, что уже найдены сопряженные с элементы выраженные через тогда у нас есть автоморфизмы которые исчерпывают группу Если теперь задано подполе где известные выражения, зависящие от , то состоит просто из тех подстановок группы которые оставляют инвариантными элементы потому что такие подстановки оставляют инвариантными все рациональные функции от

Обратно, если задана подгруппа то составим соответствующее произведение

Коэффициенты этого многочлена, согласно основной теореме, должны принадлежать полю и даже порождать поле потому, что они порождают поле, относительно которого элемент 0, как корень уравнения (1), имеет степень а быть собственным расширением для это поле не может. Следовательно, образующие поля являются просто элементарными симметрическими функциями от

Другой метод состоит в том, чтобы отыскивать элемент который при подстановках из остается неподвижным, но никаких других подстановок из не выдерживает. Тогда элемент принадлежит полю но не принадлежит никакому собственному подполю поля тем самым этот элемент порождает

С помощью основной теоремы теории Галуа получается полное описание промежуточных между и 2 полей, когда известна группа Галуа. Очевидно, число таких полей конечно, потому что конечная группа имеет лишь конечное число подгрупп. Об отношении включения между различными полями также можно судить по соответствующим группам; точнее, имеет место теорема:

Если подполе поля то группа соответствующая полю содержит группу соответствующую полю и наоборот.

Доказательство. Пусть сначала Тогда каждая подстановка, оставляющая на месте элементы из оставляет на месте и элементы из

Пусть, далее, Тогда каждый элемент поля, который выдерживает все подстановки из выдерживает и все подстановки из

В заключение выясним следующий вопрос: что происходит с группой Галуа поля над полем И, когда основное поле К расширяется до некоторого поля и соответственно расширение до расширения (Конечно, мы предполагаем, что символ имеет смысл, т. е. как так и содержатся в некотором общем поле

Подстановки , которые после продолжения становятся автоморфизмами поля дают также изоморфизмы поля К (0); но так как нормально над К, эти изоморфизмы являются и автоморфизмами расширения Поэтому группа подстановок, получающаяся после расширения основного поля, является подгруппой исходной группы подстановок. То, что эта подгруппа может быть собственной, сразу усматривается в частном случае выбора как промежуточного поля между Но описанная подгруппа может и совпадать с первоначальной; тогда

говорят, что расширение основного поля не редуцирует группу поля

(см. скан)