§ 33. Симметрические функции

Пусть — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Многочлен кольца называется (целой рациональной) симметрической функцией переменных если он переходит в себя при любой перестановке переменных Например, сумма, произведение, сумма степеней этих переменных — симметрические функции.

С помощью новой переменной построим многочлен

тогда коэффициенты этого многочлена при степенях таковы:

Очевидно, это — симметрические функции, так как левая часть равенства (1), как и его правая часть, не меняются при перестановках переменных Функции называются элементарными симметрическими функциями от

Каждый многочлен дает симметрическую функцию от если вместо а подставить соответствующие выражения через переменные х. При этом слагаемое вида в выражении для окажется однородным многочленом от степени так как каждый многочлен является однородным многочленом степени Сумму мы называем весом слагаемого а под весом многочлена подразумевается наибольший вес из входящих в него слагаемых. Многочлены веса дают тем самым симметрические многочлены от степени Так называемая основная теорема о симметрических функциях гласит:

Каждая целая рациональная симметрическая функция из кольца может быть записана в виде многочлена

Доказательство. Упорядочим заданный симметрический многочлен словарно (как в словаре), т. е. таким образом, чтобы слагаемое предшествовало слагаемому в том случае, если первая ненулевая разность положительна.

Вместе со слагаемым в выражение для данного многочлена входят также все слагаемые, показатели которых являются (в своем наборе) некоторой перестановкой показателей эти слагаемые мы записывать не будем, а воспользуемся записью а в которую фактически входит лишь первое в словарном упорядочении слагаемое во всей сумме слагаемых. Для такого слагаемого

Пусть степень данного симметрического многочлена равна а первое в словарном упорядочении слагаемое есть

Составим произведение элементарных симметрических функций, в котором (после раскрытия скобок и приведения в словарный порядок) первое слагаемое будет таким же: Это произведение найти легко; вот оно:

Вычтем это произведение из данного многочлена, упорядочим разность словарно, найдем в ней старшее слагаемое и т. д.

Такая процедура должна будет в конце концов оборваться. Действительно, вычитаемое произведение имеет вес

поэтому, расписанное как многочлен от переменных х, это произведение приобретает степень Следовательно, степень данной симметрической функции при вычитании, описанном выше, не возрастает. Но при заданной степени существует лишь конечное множество произведений степеней Так как при каждом вычитании такое произведение исчезает, а остаются лишь следующие за ним в словарном упорядочении, процедура после конечного числа шагов должна оборваться: просто не остается больше слагаемых.

Такое доказательство одновременно дает средство выражения данной симметрической функции через элементарные функции Если данная функция имеет степень то найденное выражение будет иметь вес k.

Кроме того, из доказательства следует предложение: однородные симметрические функции степени могут быть выражены «изобарически» через функции т. е. так, что слагаемые в полученной сумме все будут иметь вес

Покажем теперь, что любая симметрическая функция выражается в виде целой рациональной функции от единственным способом. Точнее:

Если два многочлена от переменных и

то и

Рассмотрение разности показывает, что достаточно доказать утверждение: из следует Доказательство. Каждое слагаемое в можно записать в виде

Среди всех систем которые соответствуют коэффициенту существует первая в словарном упорядочении. Заменим на и выразим эти последние через тогда получится первое в словарном смысле слагаемое в

Это слагаемое нельзя ни с чем сократить, так что и в самом

Мы доказали:

Каждый симметрический многочлен из кольца можно и притом единственным способом представить в виде многочлена от ; вес этого многочлена равен степени заданного многочлена.

Все целые рациональные соотношения между симметрическими функциями сохраняются, если перестают быть переменными и становятся какими-то элементами из с, например, корнями разлагающегося на линейные множители в многочлена Из доказанного, таким образом, следует, что каждая симметрическая функция корней многочлена выражается через коэффициенты этого многочлена.

(см. скан)

Важной симметрической функцией является квадрат произведения разностей:

Выражение для как многочлена от

называется дискриминантом многочлена

Обращение в нуль дискриминанта для частных значений означает, что имеет кратные линейные множители.

Если многочлен представить в более общем виде с произвольным старшим коэффициентом

то получится

Дискриминантом многочлена в этом случае называют произведение разностей, умноженное на

В § 35 мы увидим, что представляет собой многочлен от

Применяя описанный выше общий метод, мы получим дискриминанты

(см. скан)