Глава третья. КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ

Содержание. Определение понятий кольца, целостного кольца, тела и поля. Общие методы построения из данных колец новых колец, тел и полей. Теоремы о разложении на простые множители в целостных кольцах.

Понятия этой главы будут нужны на протяжении всей книги.

§ 11. Кольца

Алгебра и арифметика оперируют объектами различной природы; это — целые, рациональные, вещественные, комплексные, алгебраические числа, многочлены или рациональные функции от переменных и т. д. Позднее мы познакомимся с объектами иного сорта — гиперкомплексными числами, классами вычетов и др., с которыми можно оперировать точно так же, или почти так же, как с числами. По этой причине желательно объединить все упомянутые классы объектов одним общим понятием и с общих позиций описать правила действий в этих областях.

Под системой с двойной композицией подразумевается произвольное множество элементов в котором для любых двух элементов однозначно определены сумма и произведение вновь принадлежащие данному множеству.

Система с двойной композицией называется кольцом, если операции над элементами этой системы подчиняются следующим законам:

I. Законы сложения:

а) Закон ассоциативности:

б) Закон коммутативности:

в) Разрешимость уравнения для всех a, b.

II. Закон умножения:

а) Закон ассоциативности:

III. Законы дистрибутивности:

Примечание. Если для умножения выполняется закон коммутативности:

то кольцо называется коммутативным. На первых порах мы будем иметь дело в основном с коммутативными кольцами.

К законам сложения. Три закона 1а), б), в) означают в совокупности, что элементы кольца образуют абелеву группу относительно сложения. Таким образом, мы можем перенести на кольца теоремы, ранее доказанные для абелевых групп: существует один и только один нулевой элемент со свойством

Далее, для каждого элемента а существует противоположный элемент —а со свойством

Таким образом, уравнение не только разрешимо, но и однозначно разрешимо; его единственное решение — элемент

который мы обозначаем также и через . Так как

любая разность может быть превращена в сумму; следовательно, в этом смысле для разностей имеют место те же правила перестановки, что и для сумм, например,

Наконец,

К законам ассоциативности. Как мы видели в § на основе закона ассоциативности для умножения можно определить сложные произведения

и доказать их основное свойство:

Точно так же можно определить суммы

и доказать их основное свойство:

В силу 16) в любой сумме можно произвольным образом переставлять слагаемые, а в коммутативных кольцах то же самое верно и для произведений.

К законам дистрибутивности. Если имеет место закон коммутативности для умножения, то, конечно, закон является следствием закона IIIа).

Из IIIа) с помощью индукции по получаем

и, равным образом, из :

Оба эти закона дают привычное правило для перемножения сумм:

Законы дистрибутивности выполняются также и для вычитания; например,

в чем легко убедиться непосредственно:

В частности,

или: произведение равно нулю, когда равен нулю один из сомножителей.

Обращение этого предложения, как мы увидим позднее на примерах, не обязательно верно: может случиться так, что

В этом случае элементы называют делителями нуля, причем а — левым делителем нуля, правым делителем нуля. (В коммутативных кольцах оба эти понятия совпадают.) Оказывается удобным и сам нуль считать делителем нуля. Поэтому элемент а называется левым делителем нуля, если существует такой элемент что

Если в кольце нет делителей нуля, отличных от самого нуля, т. е. если из следует, что или или то говорят о кольце без делителей нуля. Если, кроме того, кольцо коммутативно, то оно называется целостным.

Примеры. Все указанные ранее кольца (кольцо целых чисел, кольцо рациональных чисел и т. д.) являются примерами колец без делителей нуля. Кольцо непрерывных функций на интервале обладает делителями нуля, потому что если положить

то окажется, что

(см. скан)

Единичный элемент. Если кольцо обладает левым единичным элементом

и одновременно — правым единичным элементом

то оба эти элемента должны быть равны, так как

Точно так же любой правый единичный элемент равен и левый единичный элемент тоже. При этих условиях элемент называют просто единичным элементом или единицей и говорят о кольце с единичным элементом или о кольце с единицей. Часто единичный элемент обозначают символом 1, если это не приводит к путанице с числом 1.

Целые числа образуют кольцо с единицей, а четные числа — кольцо без единицы. Существуют также кольца, в которых есть несколько правых единичных элементов, но ни одного левого или наоборот.

Обратный элемент. Если а — произвольный элемент кольца с единицей то под левым обратным элементом к а подразумевается элемент со свойством

а под правым обратным — элемент со свойством

Если элемент а обладает левым обратным и правым обратным элементами, то последние опять совпадают, так как

и, следовательно, каждый правый обратный, как и каждый левый обратный для элемента а равны указанному выше элементу. В этом случае говорят: элемент а обладает обратным элементом, а сам обратный элемент обозначают через

Степени и кратные. В главе 2 мы уже видели, что на основе закона ассоциативности для каждого элемента а в кольце можно определить степени натуральное число) и получить обычные правила действий:

при этом последнее равенство справедливо для коммутативных колец.

Если кольцо обладает единицей, а элемент а — обратным, то можно ввести нулевую и отрицательные степени (§ 6); при этом равенства (1) остаются верными.

Точно так же в аддитивной группе можно ввести кратные

тогда:

Как и в случае степеней, положим

тогда равенства (2) окажутся выполненными для всех целых (положительных, отрицательных и нуля).

Вместе с тем выражение не следует рассматривать как настоящее произведение двух элементов кольца, потому что

в общем случае не является элементом кольца, а представляет собой нечто внешнее: целое число. Если, однако, кольцо обладает единицей то можно рассматривать как настоящее произведение, а именно:

(см. скан)

Тело. Кольцо называется телом, если:

а) в нем есть по крайней мере один элемент, отличный от нуля:

б) уравнения

при разрешимы.

Если, кроме того, кольцо коммутативно, то оно называется полемили рациональным кольцом.

Точно так же, как в случае групп доказывается, что из а) и б) следует

в) существование левой единицы Действительно, для каждого уравнение разрешимо; обозначим его решение через Для произвольного уравнение разрешимо; следовательно,

Точно так же устанавливается существование правой единицы и вообще единичного элемента.

Из в) следует непосредственно

г) существование левого обратного для каждого равным образом, правого обратного; итак, установлено существование обратного элемента вообще.

Так же как в случае групп, далее доказывается, что, наоборот, из в) и г) следует б).

Задача 8. Провести доказательство.

В теле нет делителей нуля, потому что из с помощью умножения на следует равенство

Уравнения (3) разрешимы однозначно, потому что из существования двух решений скажем, первого уравнения следовало бы, что

и с помощью умножения на слева

Решения уравнений (3), естественно, равны

В коммутативном случае поэтому пишут также

Отличные от нуля элементы произвольного тела составляют относительно операции умножения группу — мультипликативную группу тела.

Таким образом, тело объединяет в себе сразу две группы: мультипликативную и аддитивную. Обе они связаны дистрибутивными законами.

Примеры. 1. Рациональные числа, вещественные числа, комплексные числа образуют поля.

2. Поле из двух элементов и 1 строится следующим образом: эти элементы перемножаются, как числа и 1. Относительно сложения элемент является нулевым элементом:

пусть далее Правило сложения то же, что и в композиции циклической группы с двумя элементами (§ 7); тем самым выполнены законы сложения. Законы умножения также выполнены, потому что они выполняются для обычных чисел и 1. Первый закон дистрибутивности доказывается перебором всех возможностей: если в требуемое равенство входит нуль, то все тривиально, так что остается рассмотреть лишь случай

который приводит к справедливому равенству Наконец, уравнение разрешимо при каждом а: решением служит

(см. скан)