§ 89. Элементарные делители и характеристическая функция
При преобразовании
матрица
переходит в
Определим инвариантные множители матрицы
в кольце
Так как они инвариантны относительно одновременного
умножения матрицы А слева и справа на любые обратимые матрицы, мы можем определить их для матрицы
где А — первая нормальная форма в смысле § 88. Согласно (1), (2) из § 88, матрица
состоит из блоков вида
Для определения инвариантных множителей мы должны эту матрицу привести к диагональному виду. К первой строке прибавим строки со второй по
умноженные соответственно на
получим:
Перестановкой одних только строк переведем первую строку в самый низ; тогда под главной диагональю останутся только нули. Прибавлением к последующим столбцам столбцов, кратных предыдущим, легко получить всюду над главной диагональю нули. Таким образом, получится матрица
Располагая такие блоки друг за другом и переставляя строки и столбцы так, чтобы — 1 занимали начало главной диагонали, мы получим искомую диагональную форму
Тем самым многочлены
вместе с несколькими единицами служат инвариантными мноокителями матрицы
Степени простых многочленов, на которые они раскладываются, являются элементарными делителями матрицы А.
Характеристический многочлен (характеристическая функция) матрицы А
аннулирует модуль
потому что этим свойством обладает уже множитель
следовательно,
Характеристический многочлен является наибольшим в смысле порядка минором матрицы
а потому с точностью до константы равен определителю
Но эта константа равна, очевидно, единице; следовательно,
Характеристическое уравнение (1) для матрицы А выводится непосредственно из (2). Именно,
и исключение всех и из этой системы уравнений дает нам (надо учитывать, что переменная
и ее степени перестановочны с коэффициентами
или
т. е.
аннулирует все переменные
а потому и весь модуль
Это и требовалось доказать.
В силу сказанного коэффициенты характеристической функции
матрицы А инвариантны относительно преобразования
Важнейшими среди коэффициентов являются первый и последний. След матрицы Л—это коэффициент при
Норма матрицы А — это коэффициент при