§ 89. Элементарные делители и характеристическая функция

При преобразовании

матрица переходит в

Определим инвариантные множители матрицы в кольце Так как они инвариантны относительно одновременного

умножения матрицы А слева и справа на любые обратимые матрицы, мы можем определить их для матрицы где А — первая нормальная форма в смысле § 88. Согласно (1), (2) из § 88, матрица состоит из блоков вида

Для определения инвариантных множителей мы должны эту матрицу привести к диагональному виду. К первой строке прибавим строки со второй по умноженные соответственно на получим:

Перестановкой одних только строк переведем первую строку в самый низ; тогда под главной диагональю останутся только нули. Прибавлением к последующим столбцам столбцов, кратных предыдущим, легко получить всюду над главной диагональю нули. Таким образом, получится матрица

Располагая такие блоки друг за другом и переставляя строки и столбцы так, чтобы — 1 занимали начало главной диагонали, мы получим искомую диагональную форму

Тем самым многочлены вместе с несколькими единицами служат инвариантными мноокителями матрицы Степени простых многочленов, на которые они раскладываются, являются элементарными делителями матрицы А.

Характеристический многочлен (характеристическая функция) матрицы А

аннулирует модуль потому что этим свойством обладает уже множитель следовательно,

Характеристический многочлен является наибольшим в смысле порядка минором матрицы а потому с точностью до константы равен определителю Но эта константа равна, очевидно, единице; следовательно,

Характеристическое уравнение (1) для матрицы А выводится непосредственно из (2). Именно,

и исключение всех и из этой системы уравнений дает нам (надо учитывать, что переменная и ее степени перестановочны с коэффициентами

или

т. е. аннулирует все переменные а потому и весь модуль Это и требовалось доказать.

В силу сказанного коэффициенты характеристической функции матрицы А инвариантны относительно преобразования

Важнейшими среди коэффициентов являются первый и последний. След матрицы Л—это коэффициент при

Норма матрицы А — это коэффициент при

Корни характеристической функции называются характеристическими корнями которые в предыдущих параграфах уже вводились как корни многочлена Это доставляет средство определения корней и построения нормальных форм, описанных в предыдущих параграфах. Именно, сначала нужно определить как корни многочлена

затем векторы из линейных уравнений (ср. (3) из § 88)

В случае кратных корней последующие векторы как правило, определяются легко из уравнений (3) из § 88; при этом может оказаться необходимым заменить соответствующие корню векторы их линейными комбинациями.

Уравнение корнями которого являются появляется во многих приложениях; поскольку оно очень часто встречается в теории вековых возмущений, его называют еще вековым уравнением.