§ 54. Групповые характеры

Пусть некоторая группа и К — некоторое поле. Под характером группы в поле К понимается любое гомоморфное отображение группы в мультипликативную группу поля К. Другими словами: характер о группы в поле К — это некоторая функция элементов из со значениями в поле К, отличными от нуля, обладающая следующим свойством:

Из (1), как обычно, следует, что

Если характеры, то с помощью равенства

определяется произведение отображений оно тоже является характером. Относительно такого умножения характеры группы в поле К образуют абелеву группу группу характеров группы в поле К.

Теорема о независимости. Различные характеры группы в поле К всегда линейно независимы, т. е. если в поле К выполняется равенство

для всех х из то все коэффициенты с; равны нулю.

Доказательство. (По книге: Артин (Artin Е.). Galoissche Theorie. - Leipzig, 1959, S. 28.) Для из сразу следует, что Следовательно, можно начать индукцию по и предположить, что утверждение справедливо для характеров.

Заменим в (2) элемент х на где а — произвольный элемент группы тогда получится равенство

Вычтем отсюда равенство (2), умноженное на

Согласно индуктивному предположению характеры линейно независимы; следовательно, все коэффициенты в (4) должны быть нулевыми:

Так как различные характеры, для каждого фиксированного можно так выбрать элемент а, чтобы было

Тогда из (5) следует, что

Подставим это в (2); тогда окажется, что чем и доказывается требуемое.

Следствие. Если различные изоморфные отображения поля К в поле К, то все они линейно независимы. Действительно, можно рассматривать как характеры мультипликативной группы поля К в поле К. Особенно важны характеры абелевых групп. Пример 1. Пусть циклическая группа порядка Опишем характеры группы в поле К.

Если а — образующий элемент группы произвольный характер, то положим

Произвольный элемент из является некоторой степенью

Из (6) следует, что

Далее, следовательно, а потому корень степени из единицы. Обратно, каждому корню степени из единицы в поле К соответствует некоторый характер х, определяемый равенством (7).

Согласно задаче 4 из § 42 корни степени из единицы образуют в поле К циклическую группу, порядок которой является делителем числа Следовательно, характеры образуют циклическую группу порядка где

Предположим, что К содержит все корни степени из единицы и не делится на характеристику поля тогда следовательно, группа характеров группы изоморфна самой группе Пусть, скажем, примитивный корень степени из единицы в поле Тогда равенство

определяет характер и все характеры являются степенями характера а:

Следовательно,

При фиксированном характер можно рассматривать как функцию от а при фиксированном — как функцию от Так получаются все характеры из Следовательно, опять группа характеров изоморфна группе В конце § 42 было доказано, что

для любого корня степени из единицы Отсюда в силу (8) следует, что

и

или, записывая иначе,

Из следует, если х заменить на что

Точно так же из (12) следует:

Введем матрицу А с элементами

и матрицу В с элементами

тогда равенство (13) можно записать в виде

а равенство (14) — в виде

Оба равенства говорят о том, что В — обратная матрица для матрицы

Функции которые отображают группу в поле К, определяются значениями

и, следовательно, образуют -мерное векторное пространство Согласно теореме о независимости характеров линейно независимы. Следовательно, каждую функцию можно выразить через

Положим тогда вместо (17) можно записать

Решение этой системы уравнений с учетом того, что матрица В — обратная

для А, выглядит так:

В частности, возьмем в качестве К поле комплексных чисел и положим

тогда (18) превратится в конечный ряд Фурье

где

Пример 2. Пусть прямое произведение циклических групп За порядков Будет предполагаться, что наименьшее общее кратное порядков не делится на характеристику поля а само поле К содержит корни степени из единицы. Определим все характеры группы в поле К.

Пусть порождающие элементы групп примитивный корень степени из единицы. Если произвольный характер группы то для каждого является корнем степени из единицы и

Каждый элемент х из однозначно представляется в виде

и

В качестве можно взять любое из чисел следовательно, имеется характеров. Выберем одно из равным 1, а все остальные равными 0; в результате получится характер Произвольный характер представляется в виде

Группа характеров является, следовательно, прямым произведением циклических групп порядков т. е. изоморфна группе Вновь оказалось так, что изоморфны.

Точно так же, как раньше, доказываются равенства (11) и (12) и из них выводятся (13)-(19). В равенстве (15) нужно, конечно, вместо писать

а в (18) вместо

Позднее мы докажем основную теорему об абелевых группах, которая утверждает, что любая абелева группа с конечным множеством порождающих элементов, в частности, любая конечная абелева группа, является прямым произведением циклических групп. Следовательно, доказанные выше формулы выполняются в любой конечной абелевой группе.

Теория характеров может быть перенесена и на бесконечные абелевы группы. Двойственность между и является важным вспомогательным средством в изучении бесконечных абелевых групп. (см. скан)