§ 86. Основная теорема об абелевых группах

Пусть произвольная абелева группа с конечным числом образующих, записанная аддитивно, т. е. некоторый модуль. Если задана область мультипликаторов для группы то мы предполагаем, что в существует единичный элемент, являющийся одновременно единичным оператором; если же область мультипликаторов не задается, то мы считаем, что таковой служит кольцо целых чисел, которое удовлетворяет указанному условию. В этом параграфе мы записываем операторы слева от элементов модуля.

Пусть сначала циклический -модуль: Множество элементов из аннулирующих составляет левый идеал а кольца : из следует, что и из следует, что для каждого к из Каждому К из соответствует элемент так как

это сопоставление является операторным гомоморфизмом над Отсюда по теореме об изоморфизме следует, что

или произвольный циклический -модуль изоморфен модулю классов вычетов кольца по аннулирующему модуль левому идеалу.

Для случая обычной циклической группы мы получаем отсюда заново следующий результат: группа изоморфна аддитивной группе целых чисел или группе классов вычетов по некоторому целому числу. Если порождающий элемент идеала

а, то является порядком циклической группы а также порядком элемента

Доказанная выше теорема справедлива независимо от специальных предположений о кольце Если же кольцо коммутативно и евклидово, как это будет предполагаться в дальнейшем, то к сказанному можно кое-что добавить. Идеал а является в этом случае главным: Считая, что разложим, если это возможно, а на два взаимно простых множителя:

и построим циклические группы Тогда аннулируется элементом , а элементом Поскольку

группа является суммой Пересечение аннулируется элементами а потому и элементом поэтому и указанная сумма является прямой:

Если в свою очередь разлагаются в произведение взаимно простых сомножителей, то или разлагаются в прямую сумму дальше. В конце концов циклическая группа станет прямой суммой таких циклических групп, которые аннулируются степенями простых чисел. Произведение этих степеней простых чисел равно а. Для групп с таким свойством будем употреблять термин «примарные группы».

Мы переходим теперь к общему случаю, когда является -модулем с конечным числом порождающих следовательно, элементы из имеют вид

Если построить на переменных модуль линейных форм

то каждой линейной форме из сопоставится элемент из Это сопоставление вновь является гомоморфизмом модулей, и из теоремы о гомоморфизме следует, что

где подмодуль, состоящий из тех линейных форм для которых

Мы опять предположим кольцо евклидовым. Согласно § 85 в модулях и можно ввести новые базисы для которых

Элементам и соответствуют (в силу указанного выше гомоморфизма) элементы модуля Все элементы из имеют вид и любой такой элемент равен нулю тогда и только тогда, когда

т. е. тогда, когда

Это означает, что сумма только тогда равна нулю, когда нулевым является каждое ее слагаемое, а слагаемое равно нулю, если его коэффициент делится на при и равен нулю при

Вот другое выражение этого факта:

Группа является прямой суммой циклических групп и аннулирующим идеалом подгруппы служит

Такова основная теорема об абелевых группах с конечным числом порождающих элементов.

В случае обычных абелевых групп числа являются порядками циклических групп а группы имеют бесконечный порядок.

Три дополнения следует сделать к доказанной теореме:

а) о выделении среди обратимых элементов;

б) о дальнейшем разложении циклических групп на примерные;

в) о единственности.

а) Пусть, скажем, обратимый элемент, так Что единичный идеал т. е. Тогда циклическая группа может быть исключена из числа слагаемых в сумме

После выделения обратимых элементов остаются аннулирующие идеалы которые мы расположим в виде убывающего

ряда тогда

б) Группы которые аннулируются идеалом (0), изоморфны аддитивной группе кольца Группы, которые аннулируются идеалами в соответствии с доказанным в начале распадаются на примарные группы. Идеалы, аннулирующие примерные группы, находятся с помощью разложения числа на простые множители. Сумма всех встречающихся в разложении группы подгрупп, относящихся к фиксированному простому числу является группой состоящей из тех элементов группы которые аннулируются достаточно высокой степенью По этой причине группы определены однозначно. Если обозначает сумму групп, для которых то

В результате дальнейшего разложения групп вновь получаются примарные группы, которые определены не совсем однозначно, но, как мы увидим, однозначно с точностью до изоморфизма. В каждой группе имеется однозначно определенный ряд подгрупп где состоит из тех элементов группы которые аннулируются числом Первой группой в этом ряду является сама группа последняя группа состоит из одного лишь нуля.

Группа определена неоднозначно, но однозначно с точностью до изоморфизма:

в) Единственность. Аннулирующие идеалы при условии встречающиеся в разложении в прямую сумму определены однозначно модулем (Иными словами: группы определены однозначно с точностью до изоморфизма.)

Доказательство. Утверждаемая единственность будет доказана, как только мы покажем, что о каждой степени простого числа из кольца однозначно можно установить, во сколько идеалов а; она входит. Действительно, если входит в из указанных идеалов, то в силу свойства делимости последних этими идеалами являются первые идеалов таким образом, о каждой степени оказывается известным не только то, во сколько идеалов она входит, но и в какие именно идеалы. Тем самым о каждом выясняется, какие степени простых чисел в него входят. Идеалы в которые входят неограниченно большие степени, равны нулю, а прочие идеалы однозначно определяются разложением на простые множители.

Если число входит в идеал, аннулирующий циклическую группу то

является циклической группой с аннулирующим идеалом т. е. простой группой. Если же в указанный идеал не входит, По этой причине является прямой суммой стольких простых групп, каково число идеалов делящихся на Таким образом, число равно длине композиционного ряда группы следовательно, определено однозначно.

(см. скан)