§ 128. Корни простого идеала

Пусть опять универсальное поле над основным полем К и пусть — кольцо многочленов Если элементы произвольного расширения поля К, то согласно § 127 мы всегда можем найти изоморфизм полей, который переводит в элементы из Следовательно, для дальнейших теорем безразлично, будут ли элементами поля или какого-либо другого расширения поля К. Если считать, что — элементы из то будет точкой аффинного пространства

Такая точка называется общим корнем некоторого идеала ссли из включения следует, что и наоборот. В этом случае идеал состоит в точности из тех многочленов для которых Сейчас будет показано, что такой идеал обязательно прост. Далее будет показано, что каждая точка является общим корнем некоторого однозначно определенного простого идеала наоборот, каждый простои идеал обладает общим корнем определенным однозначно с точностью до изоморфизма.

Теорема 1. Если элементы произвольного расширения поля К, то многочлены кольца для которых составляют отличный от о простой идеал.

Доказательство. Из следует, что Из следует, что Следовательно, указанные выше многочлены действительно составляют некоторый идеал.

Из следует, что так как в поле нет делителей нуля. Следовательно, указанный идеал прост. Так как в нем нет единичного элемента, то он отличен от всего кольца .

Пример. Пусть линейные функции одной переменной с коэффициентами из поля К:

Тогда простой идеал описанного вида состоит из всех многочленов со следующим свойством: равно нулю тождественно по или, выражаясь геометрически, идеал состоит из всевозможных многочленов, которые обращаются в нуль во всех точках прямых, задаваемых в n-мерном пространстве с помощью параметрического представления (1). Этот пример может служить наглядной иллюстрацией к теоремам данного и следующего параграфов.

Теорема 2. Если обозначает построенный в теореме той идеал, то поле изоморфно полю частных II кольца классов вычетов кольца о по идеалу причем элементы при этом изоморфизме соответствуют классам вычетов переменных

Доказательство. Пусть — кольцо тех элементов из которые записываются в виде многочленов от Тогда является полем частных кольца Сопоставим каждому элементу из класс вычетов из представляемый многочленом Так как из следует, что или и наоборот, то указанное отображение взаимно однозначно. Очевидно, что сумма переходит в сумму, а произведение — в произведение. Тем самым кольца изоморфны. Но тогда и их поля частных и II тоже изоморфны.

Теорема 1 утверждает, что каждая точка является общим корнем однозначно определенного простого идеала Теорема 2 утверждает, что точка определяется идеалом однозначно с точностью до изоморфизма. Теперь будет доказана

Теорема 3. Каждый отличный от о простой идеал обладает общим корнем над универсальным полем

Доказательство. Многочленам из с мы сопоставим элементы некоторого нового множества о, которое содержит поле

коэффициентов К, причем двум сравнимым по модулю у многочленам будет соответствовать один элемент, а двум несравнимым многочленам — два различных элемента; при этом элементы из К, по определению, будут переходить в себя. Сделать это всегда возможно, потому что в силу неравенства два элемента из К сравнимы по модулю только тогда, когда они равны. Элементы, соответствующие элементам обозначим через

Множество о взаимно однозначно отображается на кольцо классов вычетов кольца о по идеалу Таким образом, мы можем определить на о сложение и умножение, которые соответствуют сложению и умножению в кольце и тогда о окажется изоморфным котьцу классов вычетов; поэтому оно не имеет делителей нуля и для него можно построить поле частных

Каждый элемент из о соответствует по крайней мере одному многочлену из о, а потому он может быть записан в виде Следовательно, о равно а А равно Согласно § 127 поле изоморфно вкладывается в универсальное поле поэтому можно считать, что . Элемент равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен принадлежит нулевому классу вычетов по модулю . Следовательно, является общим корнем идеала у, чем и доказывается теорема 3.

Согласно теореме 3 каждый простой идеал о в универсальном поле обладает общим корнем который в силу теоремы 2 определяется идеалом у однозначно с точностью до изоморфизма. Точка является корнем идеала а потому принадлежит многообразию этого идеала. Идеал, соответствующий многообразию это снова у, потому что если многочлен обращается в нуль во всех точках многообразия то, в частности и поэтому . Так как соответствующий идеал прост, многообразие неприводимо. Мы получили следующую теорему:

Теорема 4. Каждый простой идеал о соответствует некоторому неприводимому многообразию корней и служит идеалом этого многообразия.

Если исходить из неприводимого многообразия то соответствующий ему идеал согласно § 126 прост. Корнями идеала у являются в точности точки из Если общий корень идеала у, то называется общей точкой многообразия над полем К. Таким образом:

Точка многообразия является общей точкой этого многообразия над полем К, если каждое равенство с коэффициентами из К, выполняющееся для выполняется и для всех точек многообразия

Согласно теореме 3 каждое неприводимое многообразие обладает общей точкой. Обратно, если некоторое многообразие обладает общей точкой, то соответствующий идеал многообразия

М согласно теореме 1 является простым, так что неприводимо. Тем самым доказана

Теорема 5. Многообразие обладает общей точкой над К тогда и только тогда, когда оно неприводимо над К.

(см. скан)