Теорема 1. Если
элементы произвольного расширения поля К, то многочлены
кольца
для которых
составляют отличный от о простой идеал.
Доказательство. Из
следует, что
Из
следует, что
Следовательно, указанные выше многочлены действительно составляют некоторый идеал.
Из
следует, что
так как в поле нет делителей нуля. Следовательно, указанный идеал прост. Так как в нем нет единичного элемента, то он отличен от всего кольца
.
Пример. Пусть
линейные функции одной переменной
с коэффициентами из поля К:
Тогда простой идеал описанного вида состоит из всех многочленов
со следующим свойством:
равно нулю тождественно по
или, выражаясь геометрически, идеал состоит из всевозможных многочленов, которые обращаются в нуль во всех точках прямых, задаваемых в n-мерном пространстве с помощью параметрического представления (1). Этот пример может служить наглядной иллюстрацией к теоремам данного и следующего параграфов.
Теорема 2. Если
обозначает построенный в теореме
той идеал, то поле
изоморфно полю частных II кольца классов вычетов кольца о по идеалу
причем элементы
при этом изоморфизме соответствуют классам вычетов переменных
Доказательство. Пусть
— кольцо тех элементов из
которые записываются в виде многочленов от
Тогда
является полем частных кольца
Сопоставим каждому элементу
из
класс вычетов из
представляемый многочленом
Так как из
следует, что
или
и наоборот, то указанное отображение взаимно однозначно. Очевидно, что сумма переходит в сумму, а произведение — в произведение. Тем самым кольца
изоморфны. Но тогда и их поля частных
и II тоже изоморфны.
Теорема 1 утверждает, что каждая точка
является общим корнем однозначно определенного простого идеала
Теорема 2 утверждает, что точка
определяется идеалом
однозначно с точностью до изоморфизма. Теперь будет доказана
Теорема 3. Каждый отличный от о простой идеал обладает общим корнем
над универсальным полем
Доказательство. Многочленам из с мы сопоставим элементы некоторого нового множества о, которое содержит поле
коэффициентов К, причем двум сравнимым по модулю у многочленам будет соответствовать один элемент, а двум несравнимым многочленам — два различных элемента; при этом элементы из К, по определению, будут переходить в себя. Сделать это всегда возможно, потому что в силу неравенства
два элемента из К сравнимы по модулю
только тогда, когда они равны. Элементы, соответствующие элементам
обозначим через
Множество о взаимно однозначно отображается на кольцо классов вычетов кольца о по идеалу
Таким образом, мы можем определить на о сложение и умножение, которые соответствуют сложению и умножению в кольце
и тогда о окажется изоморфным котьцу классов вычетов; поэтому оно не имеет делителей нуля и для него можно построить поле частных
Каждый элемент из о соответствует по крайней мере одному многочлену
из о, а потому он может быть записан в виде
Следовательно, о равно
а А равно
Согласно § 127 поле
изоморфно вкладывается в универсальное поле
поэтому можно считать, что
. Элемент
равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен
принадлежит нулевому классу вычетов по модулю
. Следовательно,
является общим корнем идеала у, чем и доказывается теорема 3.
Согласно теореме 3 каждый простой идеал
о в универсальном поле
обладает общим корнем
который в силу теоремы 2 определяется идеалом у однозначно с точностью до изоморфизма. Точка
является корнем идеала
а потому принадлежит многообразию
этого идеала. Идеал, соответствующий многообразию
это снова у, потому что если многочлен
обращается в нуль во всех точках многообразия
то, в частности
и поэтому
. Так как соответствующий идеал прост, многообразие
неприводимо. Мы получили следующую теорему:
Теорема 4. Каждый простой идеал
о соответствует некоторому неприводимому многообразию корней и служит идеалом этого многообразия.
Если исходить из неприводимого многообразия
то соответствующий ему идеал
согласно § 126 прост. Корнями идеала у являются в точности точки из
Если
общий корень идеала у, то
называется общей точкой многообразия
над полем К. Таким образом:
Точка
многообразия
является общей точкой этого многообразия над полем К, если каждое равенство
с коэффициентами из К, выполняющееся для выполняется и для всех точек многообразия
Согласно теореме 3 каждое неприводимое многообразие
обладает общей точкой. Обратно, если некоторое многообразие
обладает общей точкой, то соответствующий идеал многообразия
М согласно теореме 1 является простым, так что
неприводимо. Тем самым доказана
Теорема 5. Многообразие
обладает общей точкой над К тогда и только тогда, когда оно неприводимо над К.
(см. скан)