Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава пятнадцатая. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦВ этой главе мы рассмотрим свойства делимостиидеалов коммутативных колец и попытаемся перенести некоторые простые теоремы, имеющие место в области целых чисел, на кольца общего типа. Чтобы не сталкиваться с лишними трудностями, целесообразно ограничиться кольцами, в которых каждый идеал обладает конечным базисом; этот случай, как мы увидим, встречается очень часто. § 115. Нётеровы кольцаМы говорим, что в кольце о справедлива теорема о базисе, если каждый идеал в с обладает конечным базисом. Коммутативные кольца, в которых выполняется теорема о базисе, называются нётеровыми. Теорема о базисе имеет место в любом теле, потому что там есть лишь идеалы (0) и (1) Она имеет место и в кольце целых чисел и, говоря более общо, в любом кольце главных идеалов. Кроме того, она справедлива в любом конечном кольце. Позднее мы увидим, что теорема о базисе имеет место в факторкольце Теорема. Если теорема о базисе выполняется в кольце с, содержащем единичный элемент, то она выполняется и в кольце многочленов Доказательство. Пусть
то, скажем, при
— вновь некоторый многочлен из Согласно условию идеал а старших коэффициентов имеет некоторый базис
степени Включим многочлены
— произвольный многочлен из
Построим многочлен
Коэффициент при
Таким образом, многочлен Коэффициенты при
— базис этого идеала, и
Включим теперь в базис и многочлены
Продолжим намеченную конструкцию. Коэффициенты при лежащих в базис этого идеала
Следовательно, многочлены Из этой теоремы с помощью Если теорема о базисе имеет место в кольце о с единицей, то она справедлива и в кольце многочленов Наиболее важные частные случаи: кольцо целочисленных многочленов Гильберт высказал свою теорему только для этих случаев, но в более общей, на первый взгляд, формулировке: В любом подмножестве
Эта теорема является, однако, непосредственным следствием теоремы о базисе для идеалов. В самом деле, если
Каждый элемент
Следовательно, все элементы из Более важным является то обстоятельство, что теорема о базисе эквивалентна следующей «теореме о цепях делителей»: Теорема о цепях делителей. Первая формулировка. Если
то цепь обрывается после конечного числа членов. Иначе говоря, имеет место Теорема о цепях делителей. Вторая формулировка. Если
то, начиная с некоторого
То, что теорема о цепях делителей следует из теоремы о базисе, можно установить так: Пусть Согласно условию идеал
Наоборот, теорема о базисе следует из теоремы о цепях делителей. Действительно, пусть а — идеал и
Если
Но она обрывается после конечного числа (скажем, после
Следовательно, идел а имеет конечный базис. Если теорема о целях делителей имеет место в кольце о, то она справедлива и в любом факторкольце Доказательство. Любой идеал 6 в
Любая цепь идеалов а так как последняя обрывается на одной из своих компонент, то первая цепь также конечна. Тем самым доказано сформулированное в начале этого параграфа утверждение о том, что если теорема о базисе выполняется в кольце с, то она выполняется и в кольце Теорема о цепях делителей имеет еще две формулировки, удобные для приложений: Теорема о цепях делителей. Третья формулировка: условие максимальности. Если в кольце о имеет место теорема о цепях делителей, то в любом непустом множестве идеалов существует максимагьный идеал, т. е. такой идеал, который не содержится ни в одном другом идеале данного множества. Доказательство. Фиксируем в каждом непустом множестве идеалов какой-нибудь идеал. Если бы в некотором множестве
что, согласно условию, невозможно. Теорема о цепях делителей. Четвертая формулировка: принцип индукции по делителям. Если в кольце о имеет место теорема о цепях делителей и можно доказать наличие некоторого свойства Доказательство. Предположим, что некоторый идеал не обладает свойством
|
1 |
Оглавление
|