§ 11. Вывод сагиттального инварианта

Перейдем к рассмотрению преломления узкого пучка лучей в сагиттальной плоскости. Обратимся к рис. 2.2, на котором представлен ход главного луча, претерпевающего преломление в точке В на сферической поверхности, разделяющей две среды с показателями преломления и имеющей радиус кривизны с центром в точке С.

Положение сагиттального изображения некоторой точки А предметного пространства, расположенной на главном луче, определяется точкой пересечения преломленного луча с прямой, проходящей через предметную точку А и центр поверхности С.

Действительно, осуществляя поворот плоскости рисунка на малый угол у вокруг прямой образуем ход луча в сагиттальной плоскости (как касательной к коническим поверхностям с вершинами в точках

Отрезки от точки преломления В до предметной точки и до точки изображения А обозначим через углы главного луча с нормалью — через и а расстояния от точек до центра поверхности — через

Рис. 2.2. К выводу сагиттального инварианта

Опуская из точек перпендикуляры на нормаль, получаем точки и образуем прямоугольные треугольники и

-В этих треугольниках катеты могут быть выражены через отрезки и углы и :

С другой стороны, отношение катетов в подобных треугольниках и должно быть равно отношению двух других катетов Эти два катета также можно выразить через отрезки радиус и углы Согласно рис. 2.2,

Пользуясь формулами (2.12) и (2.13), пишем

или

откуда

Разделив (2.16) на получаем сагиттальный инвариант Гульстранда-Юнга:

который с учетом формулы (2.11) может быть преобразован в виде

Установим связь радиусов и толщин линз оптической системы с ходом нулевого луча. От инварианта Гульстранда-Юнга при малых углах переходим к инварианту Аббе

или

Для нулевых лучей, идущих вблизи оси системы, углы всегда будут малы; поэтому в этой области инвариант Аббе всегда будет оставаться справедливым.

Рис. 2.3. Ход параксиального луча через две поверхности

Обратимся к рис. 2.3, на котором представлен ход нулевого луча через две последовательно расположенные друг за другом преломляющие поверхности, разделяющие три среды с показателями преломления

2, имеющие радиусы кривизны расстояние между этими поверхностями равно Предположим, что нулевой луч имеет на этих поверхностях высоты и образует с осью системы углы Умножая инвариант Аббе на высоты для поверхностей можно напиеать:

Сопоставляя формулы (2.21) и (2.22), видим, что они позволяют определять углы перед последующими поверхностями системы, если будут известны высоты на предыдущих поверхностях; это нетрудно сделать, пользуясь рис. 2.3:

Наоборот, зная или задавая ход нулевого луча через углы а, можно получить значения радиусов