§ 73. Анастигматические поверхности

Несферические поверхности отличаются от сферических тем, что их радиусы как в меридиональной, так и в сагиттальной плоскости не являются постоянными величинами и зависят от координат рассматриваемой точки. Этим свойством несферических поверхностей можно воспользоваться для устранения астигматизма.

Если в рассматриваемой точке несферической поверхности радиусы различны, то для устранения астигматизма при положении предметной точки в бесконечности необходимо, чтобы

Это условие будет справедливо для любой несферической поверхности.

Обращаясь к кривым второго порядка, можно воспользоваться соотношением (14.40), связывающим между собой радиусы В соответствии с этим получаем:

откуда

Из формул (14.62) следует, что устранение астигматизма осуществимо для двух значений угла различающихся лишь знаком.

Эти два решения определяют два направления хода главного луча и два положения выходного зрачка, при которых будет устраняться астигматизм.

Чтобы найти эти два положения анастигматических зрачков для кривых второго порядка, обратимся к рис. 14.5, на котором представлены: ход главного луча после его преломления на несферической поверхности второго порядка в некоторой точке В с координатами нормаль, составляющая угол с осью кривой, и касательная, составляющая с осью угол а.

Рис. 14.5. Анастигматическая несферическая поверхность

В соответствии с рис. 14.5 можно написать

Развертывая выражение для тангенса, находим

Тангенс угла согласно формуле (14.37), будет равен

Косинус угла может быть выражен, согласно формулам (14.62) и (14.25), через

Выражая косинус угла а через его тангенс, получаем

или

Определяя тангенс угла находим

или

Формулы (14.65) и (14.70) позволяют возвратиться к формуле (14.64) для отрезка

или

Делая дальнейшие преобразования, получаем

и затем

Освобождаясь иррациональности в знаменателе, находим

и после перемножения в числителе

или

Окончательно, выполняя все сокращения, получаем

В формулу (14.78) не вошли текущие координаты; поэтому положения выходного зрачка, обеспечивающие устранение астигматизма, оказываются независимыми от величины поля зрения и устранение астигматизма получается строгим в пределах осуществимого поля зрения.

Определим сумму расстояний между обоими положениями анастигматических зрачков выхода:

Возвратимся к формуле (14.1). Полагая ординату получим уравнение, определяющее положения вершин рассматриваемой кривой второго порядка. Таким образом,

откуда

Из формулы (14.81) следует, что сумма расстояний до анастигматических зрачков оказалась равной большой оси кривой.

Составляя разность отрезков находим

Пользуясь формулой (14.1) и полагая в ней величину равной длине полуоси а, найдем величину малой полуоси

откуда

Тогда разность отрезков может быть представлена в виде

Величина выражает, как известно, удвоенный эксцентриситет кривой второго порядка. Следовательно, анастигматические выходные зрачки для несферической поверхности второго порядка должны совпадать с ее геометрическими фокусами. Напомним, что это условие относится к случаю, когда предмет расположен в бесконечности.

Существенно, что в наших выводах совершенно не участвовали показатели преломления как до, так и после преломляющей поверхности; отсюда следует, что рассмотренное свойство геометрических фокусов несферической поверхности второго порядка должно соблюдаться при любых значениях показателей преломления.

В частном случае параболической поверхности один из ее геометрических фокусов располагается в бесконечности; поэтому параболическая поверхность, после которой будет создан телецентрический ход главных лучей (параллельно оси параболы), должна быть свободной от астигматизма. Входной зрачок для такой параболической поверхности будет совпадать с ее «оптическим» передним фокусом.

Если эту параболическую поверхность рассматривать как переднюю поверхность линзы, у которой второй поверхностью будет плоскость, то при телецентрическом ходе главных лучей вторая поверхность не изменит ни телецентричности, ни астигматизма. Тогда плоскопараболическая линза с входным зрачком, совмещенным с ее передним оптическим фокусом, получится свободной от астигматизма.

Рассматривая параболическую поверхность как вторую поверхность плоскопараболической линзы, мы увидим, что первая плоская поверхность, изменяя величины входных полевых углов, не внесет астигматизма и сохранит после себя положение бесконечно удаленного объекта также в бесконечности.

Поэтому плоскопараболическая линза останется анастигматичной и в случае обращения ее плоской стороной к предмету при сохранении телецентрического хода лучей после линзы, для чего снова потребуется совмещение входного зрачка с передним оптическим фокусом линзы.

Заметим, однако, что для плоскопараболической линзы и в прямом и в обратном ходе сферическая аберрация для бесконечно удаленной точки не будет равной нулю; поэтому совмещение входного зрачка с передним фокусом может быть осуществлено лишь для какого-либо одного луча, для которого и будет наблюдаться устранение астигматизма.

Обратимся к зеркальной несферической поверхности. Для этого случая показатели преломления до и после преломляющей поверхности будут отличаться друг от друга лишь знаком.

Формула (14.60) определяет равенство меридионального и сагиттального фокальных расстояний которые можно рассматривать как узловые фокусные расстояния.

При этом должно наблюдаться отсутствие астигматизма не только для бесконечно удаленной точки, но и для точки, расположенной на произвольном конечном расстоянии.

Установив теперь, что у кривых второго порядка условием отсутствия астигматизма для бесконечно удаленной точки является совмещение выходных зрачков с геометрическими фокусами кривых, можно прийти к выводу, что для зеркальных поверхностей второго порядка анастигматичность будет сохраняться и при произвольном положении предмета.

Существенно, что для зеркальных поверхностей второго порядка их геометрические фокусы являются сопряженными точками, изображающими друг друга без возникновения

сферической аберрации. Поэтому при совмещении зрачков с геометрическими фокусами этих поверхностей будет наблюдаться строгое отсутствие астигматизма по всему полю зрения вплоть до того момента, когда изображение само перестанет существовать.