Глава 14. НЕСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 70. Задание профиля несферической поверхности

Сферические поверхности, широко используемые при разработке оптических систем, обладают постоянством радиуса кривизны во всех своих точках, что и позволило создать хорошо отработанную технологию их изготовления, основанную на принципе притирания изготовляемой поверхности и инструмента — притира.

Однако постоянство радиуса кривизны является частным случаем; более общим случаем являются поверхности, обладающие центрированностью относительно некоторой оси, но не сохраняющие при этом постоянства радиусов кривизны.

Подобного рода центрированные поверхности принято называть несферическими поверхностями; однако само представление о несферичности можно трактовать более широко, распространяя его и на такие поверхности, как цилиндрические или даже ступенчатые.

Таким образом, условимся лонимать в дальнейшем под несферическими поверхностями центрированные поверхности, которые обладают профилем, не имеющим точек излома или разрывов непрерывности. Кроме того, будем полагать, что профили несферических поверхностей будут являться дифференцируемыми функциями.

Профиль несферической поверхности может быть задан тем или иным уравнением; такие уравнения в общем случае могут быть совершенно произвольными: их можно задавать, например, какими-либо тригонометрическими функциями, уравнением участка спирали и т. п. Однако на практике большей частью ограничиваются показательными функциями.

Общий характер несферических поверхностей может быть весьма различен. Одни кривые характеризуются ростом радиусов кривизны по мере удаления от вершины поверхности; к их числу относятся кривые второго порядка. У других кривых радиус кривизны по мере удаления от вершины будет уменьшаться; такого рода поверхности будут иметь форму сковородки или форму шляпки гриба.

Одним из простейших видов уравнения профиля будут являться уравнения кривых второго порядка.

Для определения профиля несферической поверхности удобно совмещать начало координат с вершиной преломляющей поверхности; в этом случае для кривых второго порядка можно воспользоваться известным уравнением, отнесенным к вершине:

Уравнение этого вида может быть усложнено добавлением членов, содержащих переменную в более высоких степенях; тогда приходим к усложненному уравнению вида

Для кривых второго порядка равенство нулю коэффициента В приводит к параболическому профилю; при отрицательном В уравнение (14.1) будет являться уравнением эллипса, при положительном В — уравнением гиперболы. Равенство коэффициента В минус единице превращает несферическую поверхность в сферу.

Нетрудно видеть, что уравнения (14.1) и (14.2) определяют четность функции у, т. е. центрированность поверхности относительно оси

Коэффициент А в обоих уравнениях будет определять радиус кривизны в вершине:

Следовательно, изменения коэффициентов не должны влиять на изменение радиуса Поэтому изменения этих коэффициентов не будут влиять и на ход нулевых лучей, фокусные

расстояния, увеличение и положение предмета и изображения; они будут воздействовать лишь на изменение аберраций оптической системы.

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что формула (14.3) при радиусе равном бесконечности (случай так называемых планоидных поверхностей), приводит к равенству коэффициента А бесконечности, и тогда формулы (14.1) и (14.2) теряют смысл и становятся непригодными.

Дифференцируя формулу (14.2), можно получить величину углового коэффициента касательной у:

откуда

или

Зададим уравнение профиля несферической поверхности в виде

Уравнение (14.7) является четной функцией от у и уравнением параболы высшего порядка, поэтому в нем коэффициент А будет связан с радиусом кривизны в вершине соотношением

Из формулы (14.8) следует, что в уравнении (14.7) уже возможно полагать значение равное бесконечности, так как тогда коэффициент А становится равным нулю и первый член в этом уравнении пропадает.

Дифференцируя формулу (14.7), находим угловой коэффициент касательной

и, вынося за скобку

или

Если деформации сферических поверхностей малы, то удобно воспользоваться уравнением профиля несферической поверхности в полярных координатах

Присутствие постоянного члена в формуле (14.12) указывает на то, что в этом случае не совмещено начало координат с вершиной кривой.

При совмещении начала координат с центром соприкасающейся окружности радиусом уравнение (14.12) принимает вид

Наличие в формуле (14.13) коэффициента не равного нулю, противоречило бы равенству

Заметим, что радиус-вектор не будет являться нормалью к профилю несферической поверхности.

Можно составить разность

и рассматривать ее как деформацию сферической поверхности.

Рис. 14.1. Задание профиля несферической поверхности в полярных координатах

Для перехода от полярных координат к прямоугольным обратимся к рис. 14.1, из которого следует, что

откуда

Обратный переход может быть осуществлен по формулам;

Так как в формулах перехода участвуют тригонометрические функции, то в некоторых случаях может оказаться целесообразным задание профиля в полярных координатах как функции той или иной тригонометрической величины.

На практике нередко встречается необходимость пересчета оптической системы в том или ином масштабе.

В уравнениях (14.2) и (14.7) коэффициенты имеют разную размерность. Так, в уравнении (14.2) коэффициент А имеет линейную размерность, коэффициент В — нулевую, а коэффициент С — минус первую.

Поэтому при пересчете и изменении масштаба по коэффициенту подобия, равному уравнение (14.2) преобразуется:

Аналогично произойдет преобразование и уравнения (14.7):

Часто на практике степени переменных получаются очень большими, а сами коэффициенты очень маленькими; тогда

целесообразно осуществить переход к вспомогательным величинам выбранным с таким расчетом, чтобы левые части уравнений сохранялись неизменными.

В случае, если профиль несферической поверхности задан уравнением второго порядка или усложненным уравнением кривых, согласно формуле (14.2), то вспомогательные величины будут связаны с основными следующим образом:

Для профилей, определяемых уравнением параболы высшего порядка, согласно формуле (14.7),