§ 40. Сферическая аберрация

Сферическая аберрация в наклонном пучке лучей представляется тремя независимыми друг от друга коэффициентами четвертого порядка по апертурным углам. Общее выражение для волновой сферической аберрации будет иметь вид

Сразу же можно выделить две группы сочетаний коэффициентов: первая группа будет сохранять крестообразную симметрию картин волновой и поперечных аберраций; во вторую же группу можно отнести все остальные случаи.

Первая группа сочетаний определяется равенством коэффициентов при четвертых степенях апертурных углов вторая же группа сочетаний будет определяться неравенством этих коэффициентов.

Обращаясь к первой группе сочетаний, можно построить график изменения коэффициентов и

Для графиков изменения всех трех коэффициентов сферической аберрации характерно:

определяющее центрированность сферической аберрации.

Действительно, обращаясь к общему выражению для волновой сферической аберрации и вынося за скобку общий множитель получим

Графики изменения коэффициентов сферической аберрации по полю при соблюдении крестообразной симметрии, представленные на рис. 8.13, а, дают следующие наиболее характерные соотношения:

Группа сочетаний коэффициентов, не обладающих крестообразной симметрией, может быть получена из предыдущей группы путем нарушения равенства между коэффициентами и здесь можно выделить равенства одного из коэффициентов или нулю, а также наличие разных знаков у коэффициентов при равенстве их по абсолютной величине.

Например, задавая значение получаем следующие четыре сочетания:

Задавая равенство находим еще три сочетания коэффициентов:

Несколько меньшие числа сочетаний объясняются повторяемостью при повороте картин на 90°.

Графики изменения коэффициентов сферической аберрации, не обладающих крестообразной симметрией, представлены на рис. 8.13, б, в.

Рис. 8.13. Возможные сочетания коэффициентов полевой сферической аберрации

Перейдем к непосредственному рассмотрению намеченных сочетаний.

1-е сочетание:

Полученная ранее формула (8.32) для волновой сферической аберрации показала, что выбранное соотношение коэффициентов обеспечивает центрированность волновой аберрации.

Дифференцируя эту формулу в частных производных, получаем:

Из формул (8.33) следует, что и для поперечных аберраций будет иметь место центрированность вокруг главного луча. Волновая аберрация вдоль меридионального и вдоль сагиттального волновых фронтов будет одинаковой и выразится параболой четвертой степени.

Рис. 8.14. Сферическая аберрация при коэффициентах

Картина равных волновых аберраций и фигура рассеяния для этого случая представлены на рис. 8.14.

Рис. 8.15. Сферическая аберрация при коэффициентах

2-е сочетание:

В этом случае общее выражение для волновой аберрации определится формулой

Поперечные аберрации примут следующие значения:

Картина равных волновых аберраций и фигура рассеяния для этого случая представлены на рис. 8.15.

3-е сочетание

Волновая сферическая аберрация выражается уравнением

Формула (8.36) показывает, что в этом случае для волновой аберрации выражение в скобках разлагается на четыре множителя, попарно равных друг другу. Приравнивая эти множители нулю, получаем двойные прямые, вдоль которых волновые аберрации становятся равными нулю; эти прямые проходят через начало координат под углами 45° к координатным осям.

Рис. 8.16. Сферическая аберрация при коэффициентах

Расположение прямых нулевых волновых аберраций внешне похоже на картину астигматизма при равенстве коэффициентов (рис. 8.5); но для случая сферической аберрации отличие заключается в том, что волновая аберрация во всех четырех секторах волновой поверхности сохраняет один и тот же знак (в случае астигматизма знаки по секторам чередовались) и что вдоль обоих волновых фронтов волновая аберрация имеет один и тот же знак и выражается параболой четвертой степени.

Дифференцируя выражение волновой аберрации в частных производных, получаем величины поперечных аберраций:

Картина волновых аберраций представлена на рис. 8.16. Обращает на себя внимание, что кривые равных волновых аберраций выразятся кривыми, похожими на равнобочные гиперболы второго порядка, асимптотически приближающимися к прямым нулевых волновых аберраций; фигура рассеяния представится кривой с

четырьмя лепестками, направленными по координатным осям, причем в каждом лепестке кривая дважды проходит через начало коор динат.

4-е сочетание

Общее выражение волновой аберрации представится уравнением

Характерно, что в этом случае вдоль меридионального и сагиттального волновых фронтов волновая аберрация получается равной нулю; однако вне координатных осей волновая аберрация уже не будет равна нулю. Кривые равных волновых аберраций будут напоминать характер гипербол, у которых асимптотами служат оси координат.

Картина волновых аберраций будет соответствовать предыдущему случаю, но повернутому на 45° относительно координатных осей. Это свойство нетрудно проверить, осуществляя аналитически поворот координатных осей.

Совершенно очевидно, что вместе с поворотом картины волновых аберраций произойдет и поворот фигуры рассеяния, поэтому не будем делать специального рисунка.

5-е сочетание:

Общее выражение волновой сферической аберрации будет иметь

Решая это биквадратное уравнение для случая получаем

и, извлекая квадратный корень,

Из формулы (8.41) следует, что прямые, вдоль которых волновая аберрация становится равной нулю, образуют с координатными осями углы, тангенсы которых составляют что соответствует самим углам, равным ±22° 30 и ±67° 30. Эти четыре прямые разделят волновую поверхность на восемь равных секторов; знаки для волновой аберрации в соседних секторах будут чередоваться.

Дифференцируя выражение для волновой аберрации по апертурным углам, получаем выражения для поперечных аберраций:

При переходе к полярным координатам формулы (8.42) преобразуются:

Эти формулы могут быть выражены через тройные углы:

Из формул (8.44) и (8.45) следует, что фигура рассеяния в этом случае сферической аберрации представится окружностью, которая при однократном обходе лучом по контуру выходного зрачка будет трижды обходиться лучом на фигуре рассеяния в обратном направлении.

Картина волновых аберраций и фигура рассеяния представлены на рис. 8.17.

Рис. 8.17. Сферическая аберрация при коэффициентах

Перейдем к рассмотрению группы случаев без крестообразной симметрии.

6-е сочетание:

Выражение для волновой сферической аберрации принимает

В случае равенства волновая аберрация вдоль сагиттального волнового фронта становится равной нулю; картина равных волновых аберраций будет напоминать картину простой

комы. Отличием сферической аберрации от комы будут одинаковые знаки у волновой аберрации по обе стороны от оси абсцисс.

После дифференцирования уравнения волновой аберрации в частных производных получим формулы для поперечных аберраций:

Графически фигура рассеяния для поперечных аберраций примет форму восьмерки и будет напоминать двустороннюю кому.

Рис. 8.18. Сферическая аберрация при коэффициентах

Сопоставляя картины для волновой аберрации и фигуры рассеяния, представленные на рис. 8.18, с картинами для случая простой сферической аберрации (рис. 8.14), видим, что в рассматриваемом случае картина волновой аберрации характеризуется удалением в бесконечность кривых равных волновых аберраций вдоль оси и сжатием фигуры рассеяния в том же направлении.

Подобная сложная сферическая аберрация, но только повернутая на 90°, наблюдалась при разработке объектива «Руссар-63», фигура рассеяния которого для полевого угла представлена на рис. 8.19.

7-е сочетание

В этом случае уравнение для волновой аберрации принимает

и уравнения для поперечных аберраций:

Картина равных волновых аберраций представится в виде семейства прямых линий, параллельных оси абсцисс; отличие такого вида сферической аберрации от аналогичных случаев астигматизма и комы будет заключаться в том, что волновая аберрация вдоль меридионального волнового фронта будет являться параболой четвертой степени, фигура же рассеяния явится отрезком прямой, совпадающим с осью ординат;

Рис. 8.19. Фигура кружка рассеяния для объектива «Руссар-63»

при обходе по контуру зрачка этот отрезок будет пробегаться лучом шесть раз.

Картина волновых аберраций и фигура рассеяния представлены на рис. 8.20.

Рис. 8.20. Сферическая аберрация при коэффициентах

8-е сочетание

Уравнение волновой сферической аберрации принимает вид

Это уравнение при распадается на четыре множителя; два из них определяют прямые, составляющие с осью абсцисс углы, тангенсы которых равны 2. Вдоль этих прямых волновая аберрация становится равной нулю.

Ось абсцисс можно рассматривать как двойную прямую нулевой волновой аберрации. Волновая поверхность рассекается прямыми нулевых волновых аберраций на шесть секторов; в секторах, смежных с осью абсцисс, у волновых аберраций сохраняются одинаковые знаки, в двух остальных секторах — противоположные.

Поперечные аберрации будут представлены выражениями:

Рис. 8.21. Сферическая аберрация при коэффициентах

Картина волновых аберраций и фигура рассеяния представлены на рис. 8.21.

9-е сочетание

Уравнение волновой сферической аберрации представится в виде

Как и в предыдущем случае, уравнение волновой аберрации разлагается на четыре множителя; но при этом две прямые, не совпадающие с осью абсцисс, вдоль которых волновые аберрации тоже становятся равными нулю, будут составлять с этой осьюуглы, тангенсы которых равны

Картина волновых аберраций будет похожа на картину предыдущего случая, но сектора, примыкающие к оси абсцисс, станут

значительно шире, а два остальных сектора соответственно сузятся.

Для поперечных аберраций получаются следующие выражения:

Картина волновых аберраций и фигура рассеяния представлены на рис. 8-22.

Рис. 8.22. Сферическая аберрация при коэффициентах

10-е сочетание

Общее выражение для волновой сферической аберрации принимает вид

Приравнивая нулю и решая относительно апертурного угла полученное биквадратное уравнение, находим

откуда следует, что будет существовать лишь два вещественных корня, определяющих две прямые, вдоль которых волновая аберрация будет равна нулю. Эти две прямые, проходящие через начало координат, составят с осью абсцисс углы, тангенсы которых будут равны Волновая поверхность будет рассечена ими на четыре сектора с чередующимися знаками волновой аберрации.

Для поперечных аберраций получаем следующие выражения!

Рис. 8.23. Сферическая аберрация при коэффициентах

Картина волновых аберраций и фигура рассеяния представлены на рис. 8.23. Подобная же фигура рассеяния, но только повернутая на 90° встретилась в объективе «Руссар-63» для полевого угла (рис. 8.24).

Рис. 8.24. Фигура кружка рассеяния для объектива «Руссар-63»

11-е сочетание

Общее выражение для волновой аберрации принимает вид

Это выражение может быть разложено на сомножители:

из которых два множителя выражают прямые, проходящие через начало координат под углами, равными 45°. Вдоль этих прямых волновая аберрация становится равной нулю. Волновая поверхность рассекается, как и в предыдущем случае, на четыре сектора; знаки волновой аберрации в этих секторах чередуются.

Для поперечных аберраций получим следующие выражения:

Если по формулам (8.59) построить фигуру рассеяния и сравнить ее с фигурой рассеяния, представленной на рис. 8.16 [(формулы (8.37)], то можно усмотреть, что эти фигуры являются взаимно зеркальными отображениями.

Рис. 8.25. Сферическая аберрация при коэффициентах

12-е сочетание:

Общее выражение для волновой аберрации принимает следующий вид:

Приравнивая Д/щнулю и решая биквадратное уравнение относительно получаем

Это решение дает два вещественных корня, выражающих две прямые нулевых волновых аберраций, проходящие через начало координат под углами с осью абсцисс, тангенсы которых будут равны

Для поперечных аберраций получаем следующие выражения:

При переходе к полярным координатам формулы (8.62) преобразуются:

Картина волновой аберрации и фигура рассеяния представлены на рис. 8.25.