§ 76. Элементы теории аберраций третьего порядка применительно к несферическим поверхностям. Перенос деформации с одной поверхности на другую

Использование теории аберраций третьего порядка в современных условиях теряет свое значение, уступая место использованию точных зависимостей, которые могут быть установлены в большинстве практических случаев.

Однако Для решения частной задачи — переноса деформаций с одной преломляющей поверхности на другую — можно воспользоваться некоторыми общими формулами теории аберраций третьего порядка.

Вывод этих формул в настоящей монографии едва ли уместен; поэтому заимствуем формулы теории аберраций третьего порядка из монографии . Слюсарева «Методы расчета оптических систем», сохраняя принятые им обозначения: координаты точки на преломляющей поверхности; коэффициент деформации сферической поверхности; высота первого (апертурного) параксиального (нулевого) луча;

Рис. 14.8. Обозначения в области аберраций третьего порядка

у — высота второго (полевого) параксиального луча; отрезки от вершины поверхности до точек пересечения с осью падающего и преломленного апертурного луча; отрезки от вершины поверхности до точек пересечения с осью падающего и преломленного полевого луча; — углы с осью апертурного параксиального луча; углы с осью полевого параксиального луча. Перечисленные величины, за исключением показаны на рис. 14.8.

В последующих выводах будут использованы также обозначения: инварианты Аббе для апертурного и полевого параксиальных лучей; инвариант Лагранжа-Гельмгольца; - сумма, определяемая формулой

Шварцшильдом был предложен следующий прием введения деформации сферической поверхности.

Уравнение сферы радиусом отнесенное к системе координат, начало которой отстоит от вершины сферы на расстояние имеет вид

Принимая, что мало, и разлагая в ряд по степеням этой величины квадратный корень, получаем

Уравнение несферической поверхности будет отличаться от уравнения сферы начиная с члена что можно учесть, введя в этот член множитель

В частном случае, когда уравнение (14.116) переходит в уравнение параболоида вращения; при оно становится сферой; в случае получаем эллипсоид с большой осью, совпадающей с осью системы.

Заметим, однако, что введение множителя не позволяет рассмотреть случай планоидной поверхности, так как для нее радиус обращается в бесконечность. Поэтому для случая планоидной поверхности уместно ввести множитель

Таким образом, выражение (14.116) может быть преобразовано:

или

Совершенно очевидно, что случай не препятствует использованию формулы (14.118).

Напишем, согласно упомянутой монографии . Слюсарева, общие выражения для аберраций третьего порядка:

где меридиональная и сагиттальная составляющие поперечной аберрации; координаты точки пересечения луча с плоскостью входного зрачка; величина предмета.

Значения сумм Зейделя выражаются формулами:

Формулы (14.119) имеют нулевую размерность, поэтому у коэффициентов Зейделя будет размерность минус третьей степени. Заметим также, что коэффициент деформации или входит во все суммы, кроме четвертой — суммы Петцваля.

Ранее говорилось, что использование сумм Зейделя может быть целесообразно при рассмотрении вопроса о переносе деформации с одной сферической поверхности на другую.

Обращаясь к формулам (14.120), видим, что влияние коэффициента во всех суммах, кроме четвертой, выразится произведениями вида:

Сделаем допущение, что в рассматриваемой системе существует какая-то другая поверхность с индексом для которой соблюдаются равенства:

Все эти формулы обладают одинаковыми знаменателями, отбрасывая которые приходим к равенствам:

Составим отношения коэффициентов деформации

Соблюдение условий (14.124) возможно в том случае, если

независимо от величин

Если рассматривать преломляющую поверхность как некоторый предмет, то величины будут играть роль расстояний внеосевых точек от оси системы; точно так же, если рассматривать поверхность как изображение, то величины можно принимать за расстояния соответственных изображений от оси системы.

Рис. 14.9. Двухзеркальная система Грегори

Опираясь на выводы теории солинейного сродства, воспользуемся тем, что постоянство линейного увеличения наблюдалось для пары сопряженных друг с другом плоскостей; в нашем случае, полагая поверхности сопряженными друг с другом, мы и определяем постоянство линейного увеличения V независимо от величины предмета, т. е. от величин или у.

Поясним сказанное на практическом примере зеркальной системы Грегори.

Обратимся к рис. 14.9, на котором представлена система Грегори с промежуточным изображением, расположенным в заднем фокусе первого зеркала. Изображение бесконечно удаленной точки после всей системы будет расположено в ее заднем фокусе совмещенном с центром отверстия первого зеркала. Из рисунка видим, что первое зеркало будет изображаться вторым зеркалом в плоскости промежуточного изображения.

Располагая в этой плоскости плоскопараллельную пластинку, образуем поверхность, которую можно рассматривать как поверхность, сопряженную с главным зеркалом.

В соответствии с предыдущими выводами деформацию на первом зеркале можно заменить соответствующей деформацией на введеной плоскопараллельной пластинке. При этом все аберрации исходной системы должны будут сохраниться неизменными.

Определим величину деформации на плоскопараллельной пластинке. Согласно формуле (14.124), имеем

Рассматривая формулы (14.120), обнаруживаем, что коэффициент деформации входит во все суммы, кроме четвертой, в первой степени. Поэтому, располагая в оптической системе четырьмя поверхностями, не являющимися изображениями друг друга, можно, задавая всем четырем суммам любые значения, получить систему четырех линейных уравнений:

В этих выражениях через обозначены суммы Зейделя до внесения деформаций.

Значения сумм были приняты равными нулю, однако в самом общем случае им можно было бы придать любые другие наперед заданные значения.

Величины могут быть определены путем просчета двух нулевых лучей — апертурного и полевого, по которым можно найти и значения исходных сумм после чего, решая систему линейных уравнений относительно коэффициентов можно получить требуемые значения сумм

Пользуясь полученными формулами, можно поставить задачу о равноценности двух деформаций на двух не совпадающих друг с другом поверхностях и одной деформации на третьей поверхности, не совпадающей с двумя первыми и не являющейся их изображением.

Это условие можно представить в виде следующих формул, ограничиваясь тремя суммами Зейделя

Умножая первое уравнение на отношение и второе — на отношение уравниваем левые части обоих уравнений и тем самым исключаем коэффициент деформации

откуда

Равным образом, умножая второе уравнение на отношение а третье — на отношение уравниваем левые части второго и третьего уравнений и тоже исключаем коэффициент . В результате этого получаем

или

Сопоставляя формулы (14.130) и (14.132), видим, что в них и в правой и в левойчасти имеются одинаковые множители. Поэтому, разделив эти два выражения друг на друга, автоматически исключаем обе деформации и остается следующее соотношение:

приводящее к равенству

которое, как было сказано выше, является условием сопряженности поверхностей противоречащим условию, поставленному в рассматриваемой задаче.

Рассмотрим систему, которая построена из двух тонких простых линз, разделенных значительным воздушным промежутком.

В этом случае можно использовать только две деформации, так как для тонкой линзы действие деформации на обеих поверхностях равнозначно.

Тогда, ограничиваясь исправлением трех аберраций, согласно суммам из формул (14.127), получим:

В этой системе из трех уравнений двумя переменными могут быть два коэффициента деформаций

Однако каждая из двух тонких линз, имея постоянную оптическую силу, может быть изменена по форме, т. е. по прогибу.

Полагая, что прогибы первой и второй линз будут являться функциями двух независимых переменных можно представить систему уравнений (14.135) как систему, связывающую четыре независимые переменные; это позволит ограничиться использованием лишь какой-либо одной из деформаций или полагая другую равной нулю.

Необходимо заметить, что, используя в качестве дополнительных переменных параметры определяющие прогибы линз, мы должны выразить через них исходные суммы которые в общем случае уже не будут линейными функциями; поэтому можно будет получить несколько решений системы уравнений (14.135). С точки зрения теории аберраций третьего порядка они будут равнозначными; однако на самом деле, с учетом аберраций высших порядков, эти решения могут очень существенно отличаться друг от друга.

Заметим, что, используя две деформации, можно было бы добавить четвертое уравнение для пятой суммы, определяющей величину дисторсии третьего порядка, и получить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными.