§ 48. Распределение энергии для зрачка эллиптической формы

Полученные выше формулы позволяют получать картину распределения энергии в дифракционном кружке рассеяния для зрачка круглой формы. Однако на самом деле форма зрачка вследствие наличия аберрационного виньетирования становится эллиптической; равным образом при наличии геометрического виньетирования форма зрачка часто получается более близкой к эллипсу, чем к кругу. Поэтому совершенно естествгннэ возникает

необходимость рассмотрения дифракционной картины при эллиптической форме зрачка.

Будем исходить из случая безаберрационного изображения точки при круглом зрачке. Было установлено, что при перемещении точки в направлении, перпендикулярном оси — главному лучу, — изменение освещенности происходило в соответствии с формулой (10.30), т. е. по квадрату отношения функции Бесселя первого порядка к ее аргументу.

Обращаясь к характеру изменения волновых аберраций при перемещении точки в направлении, перпендикулярном главному лучу, видим, что кривые постоянных значений волновой аберрации для этого случая образуют семейство параллельных прямых, перпендикулярных направлению смещения точки, в которой определяется освещенность изображения, по отношению к главному лучу.

Рис. 10.2. К рассмотрению зрачка эллиптической формы

Эта картина представлена на рис. 10.2, на котором построены прямые постоянных значений волнсвой аберрации внутри круглого зрачка и показано образование этих прямых в зависимости от величины смещения

При определении освещенности в точке, определяемой этим расстоянием, происходило суммирсвание возмущений от элементов площади зрачка, которые могли бы быть представлены в виде прямоугольников, перпендикулярных плоскости, в которой рассматривается точка пространства. Во всех этих элементарных прямоугольниках сохраняется одна и та же фаза колебания.

Предположим теперь, что высоты всех интегрируемых элементов будут увеличены или уменьшены в одном и том же отношении. Нетрудно представить себе, что при таком изменении высот не должно происходить изменения фаз на интегрируемых элементах. Энергия возмущений, поступающих в рассматриваемую точку, изменится в том же самом отношении, что и площади всех элементов интегрирования, так как коэффициент изменения высот, как постоянная величина, может быть вынесен за знак интеграла.

Следовательно, подобное кратное изменение элементов площадей, преобразующее круглое отверстие зрачка в эллиптическое,

не может изменить общего характера изменения освещенностей в рассматриваемом направлении и выразится лишь в общем увеличении или уменьшении освещенности.

Однако в перпендикулярном направлении, вдоль которого произошло изменение диаметра зрачка, должно произойти и изменение картины распределения освещенности; это изменение должно при отсутствии аберраций соответствовать картине, присущей круглому зрачку соответственно увеличенного или уменьшенного диаметра. Поэтому формула (10.30), выражающая изменение освещенности для круглого зрачка, должна быть разделена по меридиональному и сагиттальному направлениям на две аналогичные формулы:

где аргументы будут соответственно равны:

Формулы (10.38) и (10.39) и определяют картину дифракционного распределения энергии по меридиональному и сагиттальному направлениям в кружке рассеяния для зрачка эллиптической формы.

Формулы (10.10) позволяют получить величину определительной яркости и для случая сферической аберрации третьего порядка; с этой целью можно задать величину волновой аберрации по функции:

Тогда формулы (10.10) преобразуются:

Введем новую переменную связанную с апертурным углом а соотношением

Тогда формулы (10.41) приведутся к виду:

Полученные выражения известны иод названием интегралов Френеля.

Пользуясь этими формулами, можно получить выражение для освещенности

деля его на выражение для в случае отсутствия аберраций [формула (10.14)], находим

Проследим изменение числа Штреля для разных значений аргумента связанного с волновой аберрацией на краю отверстия.

Интегралы Френеля, как известно, в элементарных функциях не интегрируются, поэтому приходится прибегать к использованию специальных таблиц. Результаты вычисления отношений в зависимости от значений или сведены в табл. 10.4

Таблица 10.4 (см. скан)

Сопоставляя эту таблицу с таблицей изменения числа Штреля при простой расфокусировке (см. табл. 10.1), видим, что в диапазоне до значений не превосходящих 0,5, обе зависимости очень мало отличаются друг от друга.

Заметим, что кривая чисел Штреля для сферической аберрации вначале располагается несколько ниже, чем для расфокусировки, так как первый минимум для сферической аберрации наступагт

несколько раньше, чем для расфокусировки. Обе зависимости приведены на рис. 10.3, где кривая 1 показывает влияние расфокусировки, а кривая 2 — влияние сферической аберрации.

Существенно, что для значений волновой аберрации, меньших для случаев расфокусировки и сферической аберрации числа Штреля приобретают значения порядка 0,8 и более. Это обстоятельство дает основание считать картину распределения энергии в кружке рассеяния близкой к физически совершенной.

Условие равенства волновой аберрации известно как условие Рэлея для получения физически совершенного изображения.

Рис. 10.3. (см. скан) Графики изменения чисел Штреля

Обращаясь к любым оптическим системам, обладающим большими волновыми аберрациями, всегда можно выделить участок площади зрачка, внутри которого условие Рэлея будет выполняться; закрывая остальную часть зрачка, можно получить физически совершенное изображение.

Можно предположить, что световая энергия, проходящая через всю остальную площадь зрачка, в которой волновые аберрации выходят из условия Рэлея, не поступит в изображение, а перейдет в общий фон. Поэтому, сопоставляя «полезную» площадь зрачка, в которой соблюдается условие Рэлея, со всей площадью зрачка, можно получить представление об относительной величине фона. Одновременно отношение полезной площади зрачка ко всей его площади можно рассматривать как критерий совершенства коррекции аберраций

На рис. 10.3 представлена также кривая 3 зависимости чисел Штреля от волновой аберрации при наличии астигматизма. Сопоставляя ее с кривыми 1 и 2, нетрудно заметить, что для нее числа Штреля принимают меньшие значения даже при соблюдении условия Рэлея. Это подтверждает, что ни число Штреля, ни условие Рэлея не позволяют получить полное суждение о качестве изображения при наличии различных аберраций.

Перейдем к рассмотрению изображения светящейся линии. Оно явится результатом наложения друг на друга изображений принадлежащих этой линии точек, т. е. ряда элементов предмета.

В общем случае эти элементы могут быть самостоятельными источниками света, не когерентными друг с другом. Поэтому, анализируя результаты сложения освещенностей, не будем учитывать интерференционных явлений, полагая, что такое сложение будет подчиненно чисто фотометрическим закономерностям.

Для уяснения процесса сложения освещенностей на изображениях от отдельных элементов светящейся линии обратимся к рис. 10.4, на котором в перспективе показано распределение освещенности от светящейся точки в виде поверхности обрисованной контуром сечения в плоскости и контуром сечения — кривой в плоскости

Рис. 10.4. Картина распределения энергии в изображении точки

На расстоянии у от плоскости показано параллельное сечение этой же поверхности

Перемещая изображение светящейся точки (фигуру выражающую распределение освещенности в плоскости в направлении оси будем накладывать освещенности от соседних элементов светящейся линии друг на друга (длина светящейся линии принимается бесконечно длинной); происходящее при этом суммирование освещенностей может быть выражено интегралом

где некоторый коэффициент пропорциональности; функция светораспределения.

Для параллельной плоскости, отстоящей от плоскости на расстояние, равное у, величина освещенности, получаемой от бесконечно длинной линии, будет выражаться суммированием освещенностей, определяемых кривой Таким образом, величина освещенности определится интегралом:

Составляя отношение освещенностей получим

Очевидно, что отношение интегралов в формуле (10.49) будет равно отношению самих площадей и т. е. интегралов:

Если изображение отдельной точки светящейся линии получается центрированным (случай, когда точка находится, например, на оси системы), то распределение освещенности может быть выражено через светораспределение в плоскости Тогда аргумент функции можно рассматривать как гипотенузу треугольника, построенного на катетах х и у.

Таким образом, можно написать

и формула (10.50) преобразуется:

Заметим, что распределение освещенности в изображении светящейся тонкой линии уже не сможет принимать нулевых значений даже и при безаберрационном изображении светящейся точки, содержащем кольца с нулевой освещенностью. Это объясняется тем, что на точку с нулевой освещенностью будут время от времени накладываться освещенности от других точек, принадлежащие участкам за линиями нулевых освещенностей, т. е. за темными кольцами в дифракционном изображении.

Одновременно следует обратить внимание и на то обстоятельство, что отношение освещенностей будет получаться несколько меньшим, чем отношение освещенностей

Это подтверждается рис. 10.4, где площадь фигуры меньше площади фигуры и могла бы быть получена умножением площади фигуры на отношение освещенностей