§ 13. Апланатическая сферическая поверхность
Имея в распоряжении формулу (2.18), можно поставить условие отсутствия астигматизма для одной преломляющей сферической поверхности — равенство отрезков
Это условие приводит к следующему выражению:
откуда
или, разделив на
и взяв обратные величины,
Рис. 2.5. Анастигматические точки сферической поверхности
Дадим геометрическую интерпретацию формуле (2.37). Обращаясь к рис. 2.5, видим, что оба отрезка
должны иметь одинаковые знаки, а поэтому и предметная точка и точка изображения будут расположены по одну сторону от преломляющей поверхности. Кроме того, ранее было показано, что сагиттальные точки предмета и изображения
и центр поверхности С должны лежать на одной прямой.
Обозначая углы главного луча с этой прямой через
и
замечаем, что нормаль
образует один и тот же внешний угол
по отношению к двум треугольникам
и
с углами
при точке
и
при точках
В соответствии с рис. 2.5 можно записать
С другой стороны, опуская перпендикуляр
из точки В на прямую
образуем треугольники
и
из которых следует, что отрезок
будет равен
Разделив формулу (2.39) на (2.37), получим
или
Пользуясь формулой (2.38), можно выразить угол
через углы
и
:
откуда
Заменяя отношение
отношением
и деля формулу (2.43) на
получаем
Отсюда нетрудно получить величину
что после некоторых преобразований дает
и приводит к равенствам углов:
Далее мы можем написать, опуская из центра поверхности перпендикуляры
и
на падающий и преломленный лучи:
откуда
Таким образом, мы пришли к выводу, что точки
в которых наблюдается отсутствие астигматизма, должны быть расположены на одной и той же прямой, проходящей через центр преломляющей поверхности, на расстояниях от центра, равных соответственно
независимо от углов
главного луча с нормалью к преломляющей поверхности. Это справедливо для любых главных лучей, проходящих через апланатические точки.
Иными словами, эти точки будут безаберрационными. Кроме того, обращаясь к формуле (1.70) и заменяя в ней отношение узловых фокусных расстояний отношением показателей преломления:
приходим к условию синусов Аббе, обеспечивающему постоянство линейного увеличения для изображения элемента, расположенного на оси системы.