§ 71. Радиусы кривизны несферической поверхности

Согласно выводам аналитической геометрии, величина первой производной определяет угловой коэффициент касательной с осью абсцисс; обратная величина этого коэффициента, взятого с обратным знаком, определяет угловой коэффициент нормали.

Однако в оптике принято иное правило знаков для углов пересечения нормалей с осью системы. Поэтому, обозначая угол касательной с осью через а и угол нормали с осью через можно написать:

Дифференцируя формулы (14.15) и (14.16) для полярных координат, получаем:

и, составляя отношение этих дифференциалов, находим

Меридиональный радиус кривизны определяется известной формулой

Для центрированных поверхностей можно ввести понятие сагиттального радиуса кривизны отрезка нормали между рассматриваемой точкой поверхности и точкой пересечения нормали с осью. Это расстояние может быть выражено через ординату кривой профиля у и угол а касательной к оси:

Косинус угла а можно выразить через тангенс этого угла:

следовательно, сагиттальный радиус кривизны можно представить

Сопоставляя формулы (14.24) и (14.27), можно установить зависимость между меридиональным и сагиттальным радиусами кривизны:

В полярных координатах меридиональный радиус кривизны выразится известной формулой

Сагиттальный радиус будет равен

Формулы (14.24), (14.27)-(14.30) были получены на основании закономерностей аналитической геометрии.

Используя закон преломления

можно получить еще одно выражение для определения величины угла

С этой целью обратимся к рис. 14.2, на котором представлено преломление луча, образующего с нормалью к преломляющей поверхности в точке В углы и а с осью системы — углы и

Угол нормали с осью можно представить как разность углов или и

Из рис. 14.2 видно, что

Подставляя эти значения углов в формулу (14.31) И развертывая выражения для синусов, находим

или

откуда и получаем тангенс угла :

Для профилей, выражаемых кривыми второго порядка, при использовании выведенных общих формул можно получить, дважды дифференцируя формулу (14.1):

откуда

и тогда величина второй производной, согласно формуле (14.36),

Рис. 14.2. Радиусы кривизны несферической поверхности

Раскрывая скобки и умножая выражение (14.38) на находим

и тогда величина согласно формуле (14.28), преобразуется:

Делая настоящий вывод, мы ничем не обусловливали величины коэффициента В, поэтому формула (14.40) будет справедлива для любой кривой второго порядка.