Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 37. Связь между волновыми и геометрическими аберрациями
Ранее уже отмечалось, что и волновые и геометрические аберрации являются различными представлениями одних и тех же явлений; поэтому, так как определение аберраций удобно производить, опираясь на геометрическое представление аберраций (разрушение гомоцентричности пучка лучей, ход которых через оптическую систему может быть определен с помощью соответствующих формул геометрической оптики), а глубокую оценку качества изображения (определение частотно-контрастных характеристик) нельзя производить, не располагая знанием волновых аберраций, возникает задача установления перехода от представления аберраций в волновой форме к представлению их в геометрической форме и наоборот.
Этот переход, в особенности для не очень больших апертурных углов, не слишком сложен. Следует заметить, что представления аберраций в геометрической и волновой формах не единственные; в некоторых случаях аберрации могут быть выражены и в другом виде: иногда будем пользоваться радиусами кривых, огибающих пучки лучей, — каустических кривых; в окрестности около оси системы еще довольно часто используют коэффициенты аберраций третьего порядка — так называемые зейделевские коэффициенты.
Использование радиусов каустик и соответственных коэффициентов бывает выгодно тем, что коэффициенты сохраняются неизменными при изменении апертурных углов, тогда как и геометрические и волновые аберрации будут зависеть от величины этих углов.
Перейдем непосредственно к установлению зависимости между волновыми и геометрическими аберрациями.
Обратимся к рис. 7.6, на котором представлен участок волновой поверхности, ограниченный координатными плоскостями
и параллельными им плоскостями
(на рисунке не показаны), проходящими через точку
волновой поверхности с координатами
Центр сферы сравнения (сфера сравнения на рис. 7.6 не показана) совмещен с началом системы координат. Нормаль к волновой поверхности — луч — пересекает плоскость
в точке
с координатами
Рис. 7.6. Связь волновых и геометрических аберраций
Запишем уравнение волновой поверхности в виде
Будем рассматривать плоскость
проходящую через точку
параллельно плоскости
Приравнивая в уравнении волновой поверхности текущую координату
величине
получаем уравнение линии пересечения волновой поверхности с плоскостью Р:
Равным образом, рассматривая плоскость
проходящую через точку
параллельно плоскости
получаем уравнение линии пересечения волновой поверхности с плоскостью
Проведем через нормаль
плоскость, перпендикулярную плоскости
и плоскость, перпендикулярную плоскости
Эти две плоскости пересекутся с плоскостью
по прямым
параллельным координатным осям
и
Соединив точку
с точками
получим две прямые, лежащие в плоскостях
и являющиеся нормалями к кривым, выраженным уравнениями (7.22) и (7.23).
Соединив точку
с началом координат, получим прямую
на которой отложим радиус
сферы сравнения; в случае наличия
волновой аберрации
она выразится как расстояние между сферой сравнения и волновой поверхностью.
Таким образом, величину волновой аберрации можно выразить как разность
Избавляясь от иррациональности в формуле (7.24), получаем
С учетом малости величины волновой аберрации формула (7.25) несколько упрощается:
Напишем уравнения нормалей
и
проходящих через точку
и лежащих в плоскостях
Согласно правилам аналитической геометрии для касательных, проходящих через точку
имеем:
и, переходя к нормалям,
Система уравнений (7.29) определяет направление нормали к волновой поверхности в точке
Продифференцируем уравнение (7.26) в частных производных по
и по у:
Если считать текущую координату
то координаты
переходят в
В соответствии с этим можно написать:
Сопоставляя формулы (7.32) с формулами (7.30) и (7.31), видим, что правые части формул (7.32) получаются равными частным производным от волновой аберрации по соответственным координатным осям, умноженным на радиус сферы сравнения
Таким образом, получаем:
Величины
можно рассматривать как поперечные аберрации, определенные в плоскости, перпендикулярной к главному лучу. Однако обычно поперечные аберрации рассматривают в плоскости, перпендикулярной оси системы. В случае, когда главный луч будет составлять с осью системы полевой угол
меридиональная составляющая поперечной аберрации в плоскости, перпендикулярной оси, будет равна
величина же сагиттальной составляющей остается неизменной:
Пользование прямоугольными координатами точки на волновой поверхности имеет некоторые неудобства, так как выбор волновой поверхности делается произвольно; кроме того, затрудняется суммирование аберраций на промежуточном изображении, если будут рассматриваться две системы, стыкуемые по промежуточному изображению.
Этого можно избежать, если от прямоугольных координат перейти к апертурным углам, которые определяются приближенными формулами:
Дифференцируя эти выражения, получаем:
что позволяет привести формулы (7.34) и (7.35) к виду:
При оценке качества изображения телескопических систем, дающих изображение, расположенное в бесконечности, вместо величин поперечных аберраций пользуются аберрациями угловыми; их величину можно получить, определяя углы
как отношения поперечных аберраций к радиусу сферы сравнения:
Заметим, что формулы (7.39) являются точными и при замене сферы сравнения на плоскость, тогда как формулы (7.34), (7.35) будут приближенными.