Глава 17. ЛИНЗА В ВОЗДУХЕ

§ 85. Влияние формы линзы на сферическую аберрацию

В § 20 было получено выражение для сферической аберрации сферической преломляющей поверхности при расположении предмета в бесконечности. Было показано, что при положительной силе поверхности ее сферическая аберрация всегда получается отрицательной.

Переход к рассмотрению сферической аберрации линзы в воздухе требует определения сферической аберрации для двух расположенных друг за другом преломляющих поверхностей и в общем случае приводит к чрезвычайно громоздким выражениям, практическое использование которых едва ли возможно.

Тем не менее можно получить достаточно ясное представление о сферической аберрации линзы в воздухе, если иметь точные формулы для нескольких частных случаев. Кроме того, всегда можно прибегнуть к определению сферической аберрации посредством расчета хода апертурных лучей при заданных реальных высотах этих лучей.

Выбор частных случаев для рассмотрения сферической аберрации линзы в воздухе удобно сделать таким образом, когда одна из сферических поверхностей, ограничивающих линзу, не будет вносить сферической аберрации.

Исходя из этих соображений, можно наметить следующие случаи.

1. Случай плоско-выпуклой линзы, обращенной плоской поверхностью к бесконечно удаленному предмету.

Совершенно очевидно, что тогда первая плоская поверхность не сможет внести сферической аберрации и таковая целиком определится сферической аберрацией одной сферической поверхности, что уже и было рассмотрено в § 20.

2. Можно представить себе случай, когда после первой сферической поверхности будет расположена апланатическая поверхность, не вносящая своей сферической аберрации, но преобразующая сферическую аберрацию после первой поверхности.

3. В качестве третьего случая можно рассмотреть вторую поверхность, концентричную к изображению точки после первой поверхности; в этом случае вторая поверхность тоже не сможет внести своей сферической аберрации.

4. В качестве этого случая можно принять расположение вершины второй поверхности произвольного радиуса, например плоскости, в точке изображения после первой поверхности.

Особенностью этого случая будет являться большая толщина линзы. Однако, используя имеющееся в нашем распоряжении выражение для сферической аберрации плоской преломляющей поверхности, от этого случая можно перейти к случаю плоско-выпуклой линзы произвольной толщины.

Обращаясь к первому случаю, несколько преобразуем выражение (4.9), полученное в § 20, имея в виду, что последней средой будет воздух с показателем преломления единица,

или, переходя к фокусному расстоянию

Переходя к второму случаю, обратимся к рис. 17.1, на котором изображена линза, вторая поверхность которой будет апланатической по отношению к изображению точки после первой поверхности.

Расстояния апланатических точек от вершины апланатической поверхности, согласно формуле (2.37), будут связаны зависимостью

Отрезок можно рассматривать как отрезок для нулевого луча перед второй поверхностью.

Тогда, пользуясь инвариантом Аббе, согласно которому

определяем

что позволяет составить выражение для сферической аберрации рассматриваемой линзы

или, приводя выражение в скобках к общему знаменателю,

Рис. 17.1. Линза со второй апланатической поверхностью

Пользуясь формулой (17.3),

деля на получим

откуда

Окончательно

где величина определяется с помощью формулы (4.9)

Необходимо заметить, что из формул (17.11) и (17.12) можно получить значение сферической аберрации лишь для какой-либо одной высоты для которой вторая поверхность будет апланатической (для других лучей апланатичность нарушается из-за наличия сферической аберрации после первой поверхности).

Рассмотрим третий случай, когда вторая поверхность будет концентрична к изображению после первой поверхности.

Для него можно написать

Согласно инварианту Аббе и пользуясь фэрмулой (17.13), находим величину отрезка

откуда

Составим выражение для сферической аберрации рассматриваемой линзы

или

где, как и в предыдущем случае, величина выражается формулой (17.12).

Формула (17.17), как и формула (17.11), позволяет определить сферическую аберрацию лишь для какого-то одного произвольно выбранного значения высоты.

Заметим, что хотя сферическая аберрация после первой поверхности для обоих случаев выражается одной и той же формулой (17.12), но по своей величине она будет существенно различной ввиду различия величин первого радиуса

Действительно, задавая в первом приближении величину толщины линзы равной нулю и пренебрегая сферической аберрацией, для второго случая (вторая поверхность апланатическая) отрезок будет равен

откуда получаем величину

тогда как для третьего случая (вторая поверхность концентрическая)

откуда величина первого радиуса

Таким образом, в третьем случае величина будет в раз больше, чем во втором случае.

Перейдем теперь к рассмотрению четвертого случая, когда вторая поверхность будет являться плоскостью, проходящей через точку пересечения с осью апертурного луча после первой поверхности.

В этом случае будем иметь

Для определения сферической аберрации после второй поверхности необходимо найти отрезок для нулевого луча.

Так как

то величины будут связаны аналогичной формулой:

откуда

что и позволяет определить искомый отрезок

Сферическая аберрация рассматриваемой линзы будет равна

В этом случае, как и в предыдущих случаях, значение определяется той же формулой (17.12); так же, как и раньше,

формула (17.27) позволяет определить сферическую аберрацию для какой-либо одной, произвольно выбранной высоты

Нетрудно видеть, что в этом случае величина первого радиуса будет выражена формулой

Согласно формуле (17.22), толщина рассматриваемой линзы была значительной; поэтому целесообразно рассмотреть случай, когда эта толщина будет невелика.

Переход к уменьшенной толщине может быть осуществлен вычитанием сферической аберрации плоскопараллельной пластинки, толщина которой будет равна разности исходной и требуемой толщин.

Воспользуемся окончательным результатом формулы (4.33)

Отрезок можно рассматривать как толщину пластинки угол может быть получен как разность углов:

Синус угла будет равен

или

Для плоскопараллельной пластинки в воздухе Поэтому

и, пользуясь законом преломления,

Определяя значение сферической аберрации во всех вышеперечисленных случаях, можно проследить следующие закономерности.

Величина сферической аберрации первой поверхности в последних трех случаях является множителем при положительных значениях вторых сомножителей; таким образом, сферическая аберрация в этих трех случаях имеет тот же знак, что и сферическая аберрация первой поверхности — иными словами всегда будет обратной по знаку силе линзы.

Та же самая картина будет иметь место и в первом случае, когда первая поверхность линзы будет плоской.

Абсолютная величина сферической аберрации для четвертого случая (когда плоско-выпуклая линза обращена к бесконечно удаленному предмету выпуклой стороной) получается наименьшей.

Изменение формы линзы можно рассматривать как функцию от угла нулевого луча. Полагая находим:

Рис. 17.2. Изменение сферической аберрации в зависимости от формы линзы

Графики изменения сферической аберрации для всех четырех рассмотренных случаев представлены на рис. 17.2. Нетрудно видеть, что сферическая аберрация имеет один характерный минимум, расположенный около выпукло-плоской линзы.