§ 44. Сферическая аберрация третьего и пятого порядков

В предыдущем параграфе мы встретились со случаем компенсации сферической аберрации третьего порядка при помощи астигматизма — аберрации первого порядка по апертуре. Этот случай можно рассматривать как частный случай компенсации аберраций более высокого порядка при помощи аберраций менее высокого порядка.

Возможен и обратный случай, когда в целях компенсации аберраций более низкого порядка прибегают к введению аберраций более высокого порядка.

Одним из наиболее характерных случаев подобного рода является сочетание сферической аберрации третьего и пятого порядков, часто встречающееся при образовании изображения точки на оси системы. Целесообразность такого сочетания объясняется тем, что для осевого пучка лучей имеют место наибольшие апертурные углы и для их уменьшения невозможно прибегнуть к геометрическому виньетированию.

Рассмотрение сочетания сферической аберрации третьего и пятого порядков для осевого пучка лучей существенно облегчается наличием центрированности осевого пучка, поэтому мы будем иметь дело лишь с двумя коэффициентами: и

В соответствии с принятыми приемами можно написать следующее выражение для волновой сферической аберрации третьегои пятого порядков:

Дифференцируя это выражение, получаем формулу для поперечной сферической аберрации

Формулу (9.25) можно также представить в виде

Сферическую аберрацию очень часто представляют в виде продольной сферической аберрации

Формулы (9.26) и (9.27) связывают переходы от волновой сферической аберрации к продольной и поперечной:

Величину продольной сферической аберрации нередко выражают через коэффициенты продольной сферической аберрации:

Эти коэффициенты также легко связываются с коэффициентами волновой аберрации:

Дополнительно к сферической аберрации третьего и пятого порядков можно добавить также расфокусировку которую можно рассматривать как аберрацию первого порядка.

Волновую аберрацию, возникающую от расфокусировки, можно представить формулой

Формулы (9.30) и (9.31) можно объединить в виде

Во все приведенные формулы, кроме формулы (9.25) для поперечной аберрации, апертурные углы о входят только в четных степенях. Поэтому, полагая квадрат апертурного угла формулы (9.29) — (9.32) можно представить в виде:

Корригируя продольную сферическую аберрацию на оси, обычно добиваются ее устранения на краю отверстия для некоторого апертурного угла Таким образом,

Условие (9.36) удовлетворяется при значениях и

Из формулы (9.37) следует, что коэффициенты должны обладать разными знаками.

Дифференцируя общую формулу (9.29), можно найти экстремальные значения продольной сферической аберрации:

откуда получаем два значения:

Таким образом, наибольшая остаточная зона сферической аберрации получается для апертурного угла, в меньшего, нежели наибольший апертурный угол

Если перейти к величинам х, то величина соответствующая наибольшей остаточной зоне сферической аберрации, составит

В соответствии с формулой (9.37) можно выразить коэффициента через коэффициент

Следовательно, продольная сферическая аберрация выразится формулой

и величина волновой аберрации

Дифференцируя формулу (9.42) по х, получаем

Беря вторую производную, находим

Приравнивая нулю формулу (9.43), получаем точку максимума волновой аберрации; она определяется равенством

откуда можно сделать вывод, что наибольшая волновая аберрация будет получаться на краю отверстия.

Приравняв же нулю формулу (9.44), найдем точку перегиба; она определится соотношениями:

откуда следует, что точка перегиба на кривой волновой аберрации как функция квадрата апертурного угла будет соответствовать точке наибольшей остаточной зоны сферической аберрации.

Полученные результаты говорят о том, что общепринятый характер исправления сферической аберрации с учетом аберрации пятого порядка не обеспечивает устранения волновой аберрации на краю отверстия; однако при использовании некоторой расфокусировки величины волновой аберрации могут быть существенно уменьшены.

Рассмотрим роль расфокусировки и попытаемся определить такое ее значение, при котором достигается наибольшее уменьшение волновой аберрации, т. е. попытаемся найти наилучшую плоскость наводки.

Напишем выражение для продольной сферической аберрации с учетом расфокусировки:

и для волновой аберрации:

Поставим условие равенства волновой аберрации на краю отверстия нулю:

Это условие будет удовлетворено при и при

что при значении дает

В соответствии с формулой (9.51) можно преобразовать формулу (9.48):

Найдем экстремальные точки для волновой аберрации:

Решая уравнение ф. 53) относительно имеем

Подставляя полученное значение в формулу (9.52), находим экстремальные значения для волновой аберрации:

Рис. 9.4. Сферическая аберрация при смещении плоскости наводки: а — продольная; б - волновая

Для сравнения приведем значение волновой аберрации на краю отверстия до введения расфокусировки:

Определим величину остаточной зоны сферической аберрации и соответствующую ей величину расфокусировки.

Пользуясь формулой (9.41) и подставляя значение находим

и для расфокусировки, согласно формуле (9.51),

Если на краю отверстия величину продольной сферической аберрации сделать равной ближайшему ее экстремальному значению, но с обратным знаком, то величина расфокусировки может быть еще несколько уменьшена.

Графики продольной сферической аберрации и соответствующей ей волновой аберрации без введения расфокусировки и в плоскости наилучшей наводки представлены на рис. 9.4.