§ 63. Изменение хроматизма при изменении положения предмета

Если оптические системы содержат линзовые элементы, то при переходе от одной длины волны спектра к другой будут происходить соответствующие изменения показателей преломления у стекол, из которых изготовлены эти элементы. Изменение показателей преломления может вызвать изменение положения изображения и его величины.

Изменение положения изображения называют обычно хроматизмом положения или первым хроматизмом; изменение же увеличения называют хроматизмом увеличения или вторым хроматизмом.

Рис. 11.2. Изменение хроматизма в зависимости от положения предмета

В том случае, когда предмет расположен в бесконечности, хроматизм положения выразится в изменении положения точки заднего фокуса; второй же хроматизм выразится в изменении величины фокусного расстояния. Поэтому нередко второй хроматизм называют также хроматизмом фокусного расстояния.

Установим зависимость изменения первого и второго хроматизма от изменения положения предмета.

Обратимся к рис. 11.2, на котором в точке А представлено положение предмета, величина которого принимается равной в точках показано расположение переднего и заднего фокусов для основного цвета, а в точках для второго цвета, т. е. для другой длины волны.

Расстояния от точек до точек обозначим через Изображение для основной длины волны, расположенное в точке А, обозначим через изображение для другой длины волны, расположенное в точке на расстоянии от точки А, — через

Расстояния до точек от соответствующих точек обозначим через и Эти величины, согласно рис. 11.2, могут быть связаны с отрезками следующими формулами:

Линейные увеличения для обеих длин волн обозначим через Эти увеличения могут быть выражены формулами:

Хроматизм увеличения можно определить как разность увеличений Пользуясь формулами (11.3), находим

или

Хроматизм положения можно определить разностью отрезков, согласно рис. 11.2:

или, пользуясь формулой (11.4),

Для выполнения условия устранения хроматизма увеличения необходимо, чтобы в формуле (11.5) числитель обратился в нуль. Тогда

Из формул (11.8) вытекает, что для устранения хроматизма увеличения при различных увеличениях должно соблюдаться равенство нулю отрезков т. е. необходима ахроматизация положения переднего фокуса и переднего фокусного расстояния:

Обращаясь к формуле (11.7) и полагая отрезок определим условие ахроматизации положения:

Для соблюдения ахроматизации положения при произвольном положении предмета необходимо, чтобы при устранении хроматизма увеличения соблюдались условия:

Величину хроматизма положения можно представить как функцию увеличения. Согласно формулам (11.7) и (11.5), получаем

или

Приравнивая в формуле (11.13) выражение в квадратных скобках нулю, приходим к условию постоянства хроматизма положения при различных увеличениях:

Соблюдение условия (11.14) требует, в свою очередь, равенства отрезка нулю и равенства

или

Переднее и заднее фокусные расстояния связаны формулой

Логарифмируя и затем дифференцируя эту формулу, получаем

Если первая и последняя среды одинаковы, то выражение (11.18) становится равным нулю; отсюда следует равенство

Требование одновременного устранения хроматизма увеличения и положения, согласно формулам (11.8) и (11.14), приводит к равенствам

Тогда будет иметь место постоянство хроматизма положения

и для устранения хроматизма положения потребуется обеспечить ахроматизацию положения заднего фокуса.

Таким образом, одновременное устранение хроматизма положения и хроматизма увеличения будет получаться при ахроматизации положения переднего и заднего фокусов системы и величин самих фокусных расстояний.

Заметим, что в том случае, когда первая и последняя среды неодинаковы, например когда предмет расположен в жидкой среде, а его изображение — в воздухе, правая часть формулы (11.18) не сможет стать равной нулю, вследствие чего соблюдение одновременного равенства нулю обеих величин станет невозможным; отсюда приходится делать неутешительный вывод, что для иммерсионных систем (не афокальных) принципиально невозможно соблюдение одновременного устранения хроматизма положения и хроматизма увеличения при изменении положения предмета.

Изменение хроматизма положения определится поведением точки изображения на оси системы, и поэтому использование формул оптики Гаусса не вызывает возражений; однако в случае рассмотрения хроматизма увеличения при больших полях зрения, когда приходится иметь дело с ощутимой величиной дисторсии, использование формул оптики Гаусса становится необоснованным.

Поэтому целесообразно рассмотреть вопрос о хроматизме увеличения — «хроматической дисторсии» — для больших полей, учитывая наличие в системе дисторсии.

Ранее была выведена точная формула (1.52) для изменения дисторсии в зависимости от увеличения. Воспользуемся ее окончательным результатом:

При изменении длины волны и соответственном изменении показателей преломления произойдет изменение и увеличения и величины дисторсии в прямом и обратном ходе лучей; поэтому хроматическое изменение дисторсии может быть определено посредством дифференцирования формулы (11.21) по показателю преломления. Таким образом, находим

Из этой формулы нетрудно сделать вывод, что устранение хроматической дисторсии в передней и задней фокальных поверхностях еще не обеспечивает устранения хроматической дисторсии при произвольном положении предмета, так как хроматическая дисторсия будет равна

Однако при устранении дисторсии в передней фокальной плоскости устранение хроматической дисторсии при произвольных увеличениях будет достигнуто даже в случае