§ 12. Определение узловых точек и фокусных расстояний для сферической преломляющей поверхности. Инвариант Штраубеля
Полагая в формуле (2.18) последовательно равными бесконечности отрезки 
находим отрезки от точки преломления до соответственных фокальных точек 
Положение узловых меридиональных точек 
нетрудно получить, пользуясь поворотом рис. 2.4 в его плоскости вокруг центра преломляющей поверхности С.
Рис. 2.4. К определению узловых точек в меридиональной плоскости
При этом произойдет поворот главного луча как в пространстве предметов, так и в пространстве изображений на одинаковый малый угол и точки пересечения старого и нового главных лучей определят положение узловых точек как оснований перпендикуляров, опущенных из центра поверхности на падающий и преломленный главные лучи.
Таким образом, отрезки до узловых точек 
определятся как произведения радиуса 
на косинусы углов 
и 
:
Составляя разности между отрезками 
получим меридиональные узловые фокусные расстояния 
и после несложных преобразований:
Умножая переднее фокусное расстояние на 
и заднее на 
приходим к равенству
Умножая формулу (2.29) на формулу (1.13), получаем так называемый инвариант Штраубеля
Все величины, входящие в инвариант Штраубеля, могут рассматриваться как предыдущие перед последующей поверхностью и как последующие за предыдущей поверхностью; поэтому инвариант Штраубеля может быть распространен на любое число поверхностей, т. е. на любую оптическую систему.
Вместе с тем формула (1.13) была получена также для системы в целом; поэтому, разделив формулу (2.30) на (1.13), мы получаем формулу, внешне совпадающую с (2.29):
но справедливую уже не только для одной преломляющей поверхности, но и для любой оптической системы.
Обращаясь к сагиттальной плоскости, нетрудно усмотреть, что точка преломления луча В будет играть роль главных сагиттальных точек; поэтому отрезки 
можно приравнять соответственным главным сагиттальным фокусным расстояниям. Таким образом, получаем:
Составляя отношение фокусных расстояний, находим
и, пользуясь формулой (1.39), получаем инвариант Штраубеля для сагиттальной плоскости
Проделывая те же самые рассуждения, что и для меридиональной плоскости, распространяем инвариант Штраубеля на любое число поверхностей и для сагиттальной плоскости, а затем возвращаемся к формуле (2.33), делая ее справедливой для системы из любого числа поверхностей.
