§ 12. Определение узловых точек и фокусных расстояний для сферической преломляющей поверхности. Инвариант Штраубеля

Полагая в формуле (2.18) последовательно равными бесконечности отрезки находим отрезки от точки преломления до соответственных фокальных точек

Положение узловых меридиональных точек нетрудно получить, пользуясь поворотом рис. 2.4 в его плоскости вокруг центра преломляющей поверхности С.

Рис. 2.4. К определению узловых точек в меридиональной плоскости

При этом произойдет поворот главного луча как в пространстве предметов, так и в пространстве изображений на одинаковый малый угол и точки пересечения старого и нового главных лучей определят положение узловых точек как оснований перпендикуляров, опущенных из центра поверхности на падающий и преломленный главные лучи.

Таким образом, отрезки до узловых точек определятся как произведения радиуса на косинусы углов и :

Составляя разности между отрезками получим меридиональные узловые фокусные расстояния

и после несложных преобразований:

Умножая переднее фокусное расстояние на и заднее на приходим к равенству

Умножая формулу (2.29) на формулу (1.13), получаем так называемый инвариант Штраубеля

Все величины, входящие в инвариант Штраубеля, могут рассматриваться как предыдущие перед последующей поверхностью и как последующие за предыдущей поверхностью; поэтому инвариант Штраубеля может быть распространен на любое число поверхностей, т. е. на любую оптическую систему.

Вместе с тем формула (1.13) была получена также для системы в целом; поэтому, разделив формулу (2.30) на (1.13), мы получаем формулу, внешне совпадающую с (2.29):

но справедливую уже не только для одной преломляющей поверхности, но и для любой оптической системы.

Обращаясь к сагиттальной плоскости, нетрудно усмотреть, что точка преломления луча В будет играть роль главных сагиттальных точек; поэтому отрезки можно приравнять соответственным главным сагиттальным фокусным расстояниям. Таким образом, получаем:

Составляя отношение фокусных расстояний, находим

и, пользуясь формулой (1.39), получаем инвариант Штраубеля для сагиттальной плоскости

Проделывая те же самые рассуждения, что и для меридиональной плоскости, распространяем инвариант Штраубеля на любое число поверхностей и для сагиттальной плоскости, а затем возвращаемся к формуле (2.33), делая ее справедливой для системы из любого числа поверхностей.