Раздел III. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ВРАЩЕНИЯ

§ 10. Определение вращений. Углы Эйлера

В этом параграфе мы напомним некоторые свойства вращений в обычном пространстве.

По определению, вращением вокруг точки О называется такое перемещение точек пространства как целого, при котором точка О остается неподвижной. При таком перемещении, каждая точка Р переходит в новое положение Р и существует взаимнооднозначное соответствие между Р и Р. Можно было бы определить вращение вокруг О как взаимнооднозначное соответствие между точками пространства, при котором точке О соответствует она сама и которое сохраняет как расстояния

(а следовательно, и углы), так и ориентацию координатных осей

Единичный вектор и и угол определяют конкретное вращение — поворот на угол вокруг оси, направленной по (положительное вращение вокруг этой оси определяется обычным образом). Этот способ задания вращения не единственный. Для выполнения необходимо и достаточно, чтобы

Будем называть вращение инфинитезимальным, если бесконечно мало. Легко написать вектор V, в который при финитезимальном вращении переходит вектор V:

Рис. 1. Определение углов Эйлера.

Другой способ задания вращения состоит в фиксации углов Эйлера .

Пусть правая система осей, а — система осей, получаемая из предыдущей вращением, — одна из двух ориентированных осей, перпендикулярных плоскости (рис. 1). Углами Эйлера будут

Полное вращение является результатом трех последовательных вращений

Обозначим результирующее вращение через и запишем

Углы являются алгебраическими величинами. Они положительны или отрицательны в зависимости от того, ляется ли вращение вокруг осей положительным

или отрицательным. Для выбранной системы Oxyz одно и то же вращение может быть задано несколькими наборами углов Эйлера. Необходимыми и достаточными условиями равенства являются

С каждым вращением можно связать некоторую матрицу , определяемую следующим образом. Фиксируем правую декартову систему координатных осей с единичными векторами в направлении осей соответственно. При вращении они преобразуются в три новых вектора образующих новую декартову систему Каждый из векторов является линейной комбинацией векторов

Коэффициенты трех линейных комбинаций являются элементами матрицы , которую мы обозначим той же буквой , что и само вращение. Эта матрица полностью определяет вращение. Действительно, пусть — некоторый вектор в пространстве, определяемый его координатами в системе При вращении он преобразуется в вектор

Компоненты V в системе координат равны

Так как векторы образуют декартову систему, то вещественная матрица ортогональна и унимодулярна

Для фиксированной системы осей матрица, связанная с вращением, определена однозначно. Верно и обратное, каждой вещественной, ортогональной, унимодулярной матрице -ответствует одно и только одно вращение.

В Дополнении В (формула (В.45)) дано выражение элементов матрицы, соответствующей вращению через углы Эйлера. В качестве примера приведем закон преобразования

координат рассмотренного выше вектора V при вращении на угол а вокруг

Произведение двух вращений преобразование которое получается последовательным выполнением вращений а затем также является вращением. Соотношение (41) дает пример такого произведения. Углы Эйлера для трудно выразить в виде функций от углов Эйлера . В то же время, матрица, соответствующая , легко получается как произведение матриц