§ 5. Приложение к вычислению сечений в борновском приближении

Используя формулу (50), можно вывести выражение для сечений рассеяния в так называемом борновском приближении, т. е. в первом порядке по потенциалу взаимодействия частицы и мишени. Рассуждения будут простыми, но не совсем строгими. Строгое доказательство этой формулы будет дано в главе XIX.

Рассмотрим простейший из возможных случаев — рассеяние частицы на потенциале . Последний рассматривается как возмущение гамильтониана свободной частицы

Плоские волны являются собственными состояниями Такие волны представляют состояния частицы с импульсом и нормированной на единицу плотностью вероятности. Будем обозначать соответствующие кет-векторы они удовлетворяют соотношениям ортогональности и полноты

В пространстве векторов плотность нормированных таким образом состояний постоянна и равна число состояний в интервале равно . Мы интересуемся состояниями с импульсом в определенном направлении Q и обозначим, как и в предыдущем параграфе, их плотность {a priori эта функция могла бы зависеть от Q, однако ниже мы увидим, что это не так): — число состояний с импульсами в телесном угле и энергией в интервале Тогда имеем

используя равенство получаем

и, следовательно,

Перейдем к вычислению сечения рассеяния в заданное направление Об монохроматического пучка энергии Пусть — импульс налетающих частиц, — импульс, соответствующий той же энергии, но в направлении Мы знаем, что вероятность в единицу времени системе перейти из начального состояния в одно из состояний с импульсом в телесном угле и энергией, близкой к Е, дается в первом порядке формулой (50)

Пусть будет дифференциальным сечением, тогда равно числу частиц, рассеянных в телесный угол за единицу времени при единичном падающем

потоке. Поскольку отвечает волне со скоростью потока имеем

Подставляя вместо приближенное выражение (53), получаем

где -плотность конечных состояний , а

есть матричный элемент потенциала, ответственного за переход,