§ 8. Основные теоремы

Применение теории групп в квантовой механике в основном базируется на следующих теоремах.

Лемма Шура. Если — два неприводимых представления одной и той же группы и если существует гомоморфное отображение пространства одного из представлений на пространство другого представления, то матрица определяющая это отображение удовлетворяет уравнениям (6) и (7)), имеет следующие свойства:

а) если неэквивалентны, то

в) если то S кратна единичной матрице. (с — постоянная).

Следствие. Если квадратная матрица S коммутирует со всеми матрицами неприводимого представления некоторой группы, то она кратна единичной матрице:

Вполне приводимые представления. Теоремы единственности. Пусть заданы два разложения на неприводимые компоненты вполне приводимого представления

Можно показать, что в этом случае и существует взаимнооднозначное соответствие между каждым членом первого разложения и эквивалентным

ему членом второго разложения. Иными словами, справедлива следующая теорема.

Теорема едииствеиности I. Если представление вполне приводимо, то его разложение на неприводимые компоненты единственно с точностью до эквивалентности.

Начиная с этого места, если не отмечено особо, мы не будем делать различия между эквивалентными представлениями. Одио и то же неприводимое представление может тогда фигурировать несколько раз в разложении Обозначим

последовательность неприводимых представлений группы Согласно теореме единственности каждое вполне приводимое представление подчиняется соотношению эквивалентности

в котором последовательность неотрицательных целых чисел определена единственным образом. Аналогично множество характеров представления удовлетворяет соотношению

Теорема единственности дополняется следующими двумя теоремами.

Теорема II. Если вполне приводимо, то и любая компонента представления также вполне приводима, а разложение этой компоненты на неприводимые есть сумма определенного числа неприводимых компонент представления

Итак, если и если может быть разложено согласно соотношению (8), то

Теорема III. Если вполне приводимо и если существует гомоморфное отображение пространства представления на пространство другого представления той же группы, то является компонентой

Теорема III применима, в частности, и тогда, когда каждому базисному вектору в пространстве можно сопоставить вектор пространства такой ситуации векторы растягивающие не обязаны быть линейно независимыми, но линейно преобразуются друг в друга по тем же матричным формулам, что и векторы т. е.

В этом случае очевидно, что соответствие устанавливает гомоморф ное отображение на

В частности справедливо следующее следствие.

Следствие. Если пространства, натянутые на векторы (с переменным и на векторы (с переменным связаны с представлениями и и если тензорное произведение этих представлений вполне приводимо, то представление определенное в пространстве, натянутом на произведение векторов является компонентой .

(N. В. Векторы не обязаны быть линейно независимыми, если же это так, то