ГЛАВА XVII. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

§ 1. Изменение «представления» и рассмотрение части гамильтониана по теории возмущений

Данная глава содержит два раздела и посвящена методам построения приближенных решений зависящего от времени уравнения Шредингера. По известному динамическому состоянию исследуемой квантовой системы в момент времени требуется определить динамическое состояние этой системы в момент времени Следовательно, задача состоит в построении, по возможности наиболее точном, оператора который описывает эволюцию во времени динамических состояний системы в представлении Шредингера.

Напомним вкратце основные свойства оператора . Если гамильтониан системы известен, то этот оператор однозначно определен и является решением интегрального уравнения

или, что эквивалентно, решением уравнения Шредингера

с начальным условием

Поскольку -эрмитов оператор, то — унитарный

Более того, справедлив закон композиции

откуда следует

Эквивалентное определение можно получить, заменяя уравнение (1) на эрмитово сопряженное. Принимая во внимание (6), получаем

Метод, описанный в настоящей главе, состоит в следующем. Предположим, что гамильтониан Я представйм в виде

где — гамильтониан уравнения Шредингера, решения которого известны. Пусть -оператор эволюции, отвечающий

Поскольку оператор известен, то для определения достаточно найти унитарный оператор

Физическое значение оператора обсуждалось в § VIII. — оператор эволюции состояний в промежуточном «представлении», получающемся из представления Шредингера унитарным преобразованием Простое вычисление, детали которого приведены в § VIII. 14, показывает, что зависимость от времени определяется гамильтонианом

Другими словами, есть решение уравнения

или, что эквивалентно,

Оператор обладает всеми свойствами оператора эволюции и, в частности, удовлетворяет уравнениям (1) — (7), в которых следует заменить на

Интегральные уравнения (1), (7), (13) можно, по крайней мере формально, решить методом итераций. Так, подставляя в правую часть (13) вместо выражение

получаем

Последовательные итерации дают разложение

где есть интеграл

Учитывая определения (10) и (11), получаем следующее разложение для

Разложения (15) и (17) представляют собой ряды по степеням V, которые сходятся тем лучше, чем ближе . Они служат отправной точкой для вычислений этой главы. Оператор суть приближение нулевого порядка, отвечают поправкам порядков к этому приближению. Сложность вычисления этих поправок быстро растет с увеличением их порядка и обычно ограничиваются поправками низшего порядка.