§ 5. Комплексные базисные функции

В предыдущем параграфе мы видели, как можно проквантовать поле, не прибегая к нормальным координатам. Однако использование нормальных координат обычно упрощает вычисления, а также интерпретацию квантового поля. В силу вырожденности собственных значений оператора имеется большой произвол в выборе базисных функций и нормальных координат. В частности, можно проквантовать поле с помощью комплексных базисных функций. В этом параграфе мы рассмотрим такой метод квантования и покажем, что полученное квантовое поле не зависит от выбора базисных функций.

Пусть — полный ортонормированный базис, — соответствующие энергии, так что (см. ур. (2) — (4), (8))

С каждой модой связаны два эрмитово-сопряженных оператора, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям

Используя эти операторы, можно построить пространство динамических состояний системы. Таким образом, каждой моде отвечает квантовый гармонический осциллятор, а операторы и интерпретируются как операторы уничтожения и рождения частицы в состоянии Наблюдаемые системы выражаются через операторы рождения и уничтожения. Например, наблюдаемая соответствует числу частиц, находящихся в состоянии Для поля справедливо разложение (см. ур. (18))

для сопряженного импульса - разложение (см. ур. (33))

для гамильтониана Н, определяющего эволюцию системы (ур. (20)),

Найдем теперь связь между и операторами , из § 3 и покажем, что построенная здесь система совпадает с квантовой системой, определенной в § 3.

Мы обозначали индексом s множество квантовых чисел, нумерующих функции и. По условию в этом множестве имеется квантовое число, определяющее энергию, и дополнительные квантовые числа а, которые параметризуют функции, отвечающие одному значению энергии. Будем параметризовать энергию волновым числом

Таким образом .

Аналогичным образом индекс нумерующий функции представляет собой множество квантовых чисел, которое состоит из волнового числа определяющего энергию, и дополнительного множества квантовых чисел

Функции отвечающие данному значению связаны с функциями посредством унитарного преобразования (Т — унитарная матрица)

Все величины, которые появляются ниже, отвечают фиксированному значению поэтому в дальнейшем индекс мы будем опускать.

Для того чтобы разложения (18) и (39) задавали один и тот же оператор а разложения (33) и (40) - оператор необходимо и достаточно, чтобы для любого значения выполнялось равенство

Принимая во внимание второе из соотношений (43), видим, что эквивалентно равенствам

или

Таким образом, мы установили линейное соответствие между операторами и Более точно, линейное соотношение между операторами рождения и тождественно ли» нейному соотношению между функциями и и (43).

Из равенств (44) и следует, что разложения (18) и (39) определяют одно и то же поле Для эквивалентности двух методов квантования данного поля необходимо, чтобы так определенные операторы а и удовлетворяли коммутационным соотношениям (38), а определяемый уравнением мильтониан , будучи записан в терминах операторов имел вид (41). Это легко доказать, используя унитарность мат рицы Т. Действительно, для каждого значения имеем

откуда следует

Точно так же для каждого значения получаем

откуда следует требуемое выражение для .