§ 22. Вещественный гамильтониан, инвариантный относительно вращений

Если гамильтониан Н обладает другими свойствами симметрии помимо обращения времени, то результаты предыдущего пункта остаются справедливыми, хотя в значительной степени теряют свой интерес. Вигнер систематически изучал свойства Н в случае, когда:

(i) Н веществен: ;

(ii) Н инвариантен относительно преобразований группы линейных преобразований: ;

(iii) преобразования коммутируют с обращением времени:

Мы рассмотрим здесь только случай, когда группой инвариантности является группа вращений.

Пусть — оператор вращения на угол вокруг оси у (не следует смешивать этот оператор с введенным выше оператором вращения одних только спинов). Положим

Операторы коммутируют с и антикоммутируют с

Следовательно, коммутирует с Этот оператор коммутирует также с

Более того, поскольку (ср. соотношение (88)), то

Антиунитарное преобразование можно рассматривать как комплексное сопряжение, точно так же как рассматривалось К в § 19. Для того чтобы различать и К, мы будем использовать кавычки для нового типа сопряжения. Таким образом, «вещественный» (линейный) оператор — оператор, коммутирующий с . Вектором, «комплексно сопряженным» к вектору будет, по определению, вектор Поскольку то «вещественные» векторы и «вещественные» представления существуют. Действие «вещественного» оператора на «вещественный» вектор дает «вещественный» вектор. В «вещественном» представлении «вещественный» оператор описывается вещественными матрицами.

Поскольку — «вещественные» операторы, мы можем построить базис в пространстве момента импульса все векторы которого «вещественны». Поскольку также «вещественны», то и векторы стандартного базиса, который может быть построен из этих векторов методом, развитым в § XIII. 6, также все «вещественны».

Пусть -векторы «вещественного» стандартного базиса. Если Я инвариантен относительно вращений и отражения времени, то он коммутирует с и описывается в представлении вещественной матрицей вида (52), т. е.

с вещественными Отсюда следует наличие вращательного вырождения и существование у Н по крайней мере одной ортонормированной системы собственных векторов, образующих «вещественный» базис.

«Вещественный» базис в можно построить, взяв тензорные произведения базисных векторов в более простых пространствах. Предположим, что мы имеем

и что в каждом пространстве определены операторы вращений и обращения времени. С каждым связан оператор «комплексного сопряжения» оператор для всего

пространства является тензорным произведением этих операторов

Тензорное произведение «вещественных» векторов определяет «вещественный» вектор. В частности, мы можем образовать множество «вещественных» базисных векторов в взяв тензорные произведения векторов, образующих «вещественный» стандартный базис момента импульса в каждом из пространств сомножителей. Исходя из этого базиса в мы можем образовать стандартный базис полного момента импульса в этом пространстве путем сложения моментов импульса. Поскольку все коэффициенты Клебша — Гордана вещественны, все векторы построенного таким образом стандартного базиса также «вещественны».

Мы закончим эту главу замечанием о «вещественности» сферических функций.

Пусть — угловые координаты вектора частицы, сферические функции, описывающие состояние момента импульса . В этом частном случае

так что (уравнения Б.92) и (В.62))

Итак, сферическая функция «вещественна» при четном I и «чисто мнима» при нечетном I. С другой стороны, функции

образуют «вещественный» стандартный базис для орбитального момента импульса.

Пусть - угловые координаты импульса — сферическая гармоника, описывающая состояние момента импульса в представлении Можно показать (задача 10), что

где — оператор четности — оператор комплексного сопряжения в представлении Тогда

Следовательно, образуют «вещественный» стандартный

базис для орбитального момента импульса. Эти рассмотрения «вещественности» без труда можно распространить на общий случай неприводимых тензорных операторов (см. задачу 12).

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)