§ 14. Построение оператора ...

Произвольное конечное вращение можно рассматривать как последовательность инфинитезимальных вращений. Соответствующий оператор будет произведением операторов инфинитезимальных вращений, и так как последние являются функциями полного момента (ур. (55)), то и оператор произвольного конечного вращения тоже будет функцией полного момента импульса.

Вращение является последовательностью инфинитезимальных вращений вокруг оси и. В частности,

Полагая и используя формулу (55), получаем

или иначе

Это дифференциальное уравнение легко интегрируется и дает

Рассмотрим теперь вращение определяемое углами Эйлера . Как показано в § 10, можно рассматривать как последовательность вращений на углы вокруг осей соответственно (см. рис. 1). Следовательно, имеем

Используя (58), три вращения в правой части можно выразить через компоненты момента импульса

Обратим внимание на порядок экспонент в правой части.

Преобразуем выражение (59) к виду, в котором фигурируют только компоненты момента импульса вдоль координатных осей. Вращение переводит оператор в оператор что в силу закона преобразования операторов (52) дает

Итак

Подставляя это выражение в правую часть (59), получаем

Аналогично, получается из последовательными вращениями и может быть устранено из окончательного ответа, так же как и