§ 11. «Представление вращающихся осей»

Точно проинтегрировать уравнение Шредингера в общем случае не удается, так как собственные векторы гамильтониана вращаются некоторым образом в гильбертовом пространстве. При рассмотрении общего случая первый этап заключается в устранении, насколько это возможно, такого вращения подходящим изменением «представления».

Введем для этого унитарный оператор обладающий свойством

Унитарное преобразование переводит любой базис из собственных векторов оператора в базис из собственных векторов причем соответствующие векторы связаны друг с другом непрерывным образом.

Преобразование однозначно определяется начальным условием

и дифференциальным уравнением

где — подходящий эрмитов оператор. Для того чтобы выполнялись условия (72), необходимо и достаточно, чтобы

оператор удовлетворял коммутационным соотношениям

Необходимость немедленно следует после дифференцирования обеих частей (72) по Соотношения (75) достаточны, так как если удовлетворяют уравнениям (74) и (75), то выражение

не зависит от s (производная по s равна нулю) и равно своему начальному значению .

Соотношения (75) не определяют однозначно, в частности, можно добавить к оператор где

-произвольные операторы, зависящие от . Другими словами, можно произвольно задавать проекции По причинам, которые станут понятны ниже, мы устраняем произвол, накладывая дополнительные условия

Это дает (задача 5)

Унитарное преобразование переводит векторы и операторы шредингеровского «представления» в новое «представле ние» — «представление вращающихся осей». Наблюдаемая преобразуется в , используя равенства (67) и (72), имеем

Точно так же преобразуется в

Оператор эволюции в новом «представлении» равен

Он определяется (см. § 1, ур. (12), где следует взять уравнением и начальным условием