§ 13. Свойства инвариантности и эволюция динамических состояний

Покажем теперь, что из инвариантности Я относительно группы следует инвариантность оператора эволюции относительно той же группы. Этот оператор, по определению, является решением интегрального уравнения

Домножив обе части этого равенства слева на и справа на учитывая унитарность оператора и свойство (53), имеем

Поскольку удовлетворяют одному и тому же интегральному уравнению, то они совпадают. Таким образом,

Одним из следствий инвариантности относительно преобразований группы являются законы сохранения, приведенные в предыдущем параграфе. Более того, если — решение уравнений движения, то так как и коммутируют, преобразованный вектор также является решением. Динамические состояния, описываемые этими векторами, в каждый момент времени связаны преобразованием Следовательно, закон движения динамических состояний инвариантен относительно преобразований группы

Два динамических состояния, являющиеся образами друг друга относительно некоторого преобразования группы сохраняют это свойство с течением времени.

Это свойство инвариантности можно эквивалентным образом сформулировать посредством операций измерения.

Предположим, что после того как в момент времени система приготовлена тем или иным способом, над системой в более поздний момент времени осуществляется некоторая процедура измерения. Результат такого измерения не изменится, если осуществить преобразование группы как над начальным состоянием (т. е. над аппаратурой, используемой для приготовления системы), так и над величиной (или величинами), подлежащими измерению (т. е. над аппаратурой, используемой для их наблюдения) при прочих равных условиях.

Предположим для примера, что система приготовлена в чистом состоянии, которое описывается вектором и измеряется вероятность обнаружения системы в чистом состоянии, определяемом вектором Образы этих состояний при преобразовании описываются соответственно векторами Из коммутационных соотношений (57) получаем равенство вероятностей

В более общей ситуации, пусть — оператор плотности, описывающий состояние системы в момент времени ее приготовления описывает систему в момент времени ее измерения Типичное измерение состоит в определении вероятности того, что значения измеряемой величины (величин) будут находиться в некоторой области D. Если — проектор на подпространство собственных состояний, соответствующих этой области, то указанная вероятность определяется равенством

Предположим теперь, что мы исходим из начального состояния что измерение осуществляется над преобразованной величиной (величинами), рассматриваемой в первом эксперименте. Собственным состояниям из области D соответствует проектор Результатом нового измерения будет

Принимая во внимание свойства следа, унитарность операторов и соотношение (57), имеем

Действительно, если (58) справедливо при всех то имеем (61).

Выше мы, предполагая только инвариантность Я относительно преобразований заданной группы получили помимо прочего инвариантность «закона движения» динамических состояний по отношению к группе Обратно, можно постулировать инвариантность закона движения относительно группы и исследовать следствия этого постулата. Последний эквивалентен предположению о том, что для всякого преобразования из группы, уравнение (58) выполняется при любых или (теорема II), что и совпадают с точностью до фазы:

На выбор фазовых множителей наложен ряд ограничений. Для большинства групп, встречающихся в физических исследованиях, эти фазовые множители равны 1.

Мы будем всегда предполагать, что это фазовое условие выполнено, даже когда оно и не следует из соображений внутренней согласованности. Постулат инвариантности тогда может быть записан в виде

В случае инфинитезимального оператора из этого соотношения следует свойство симметрии гамильтониана

Итак, всякий постулат об инвариантности уравнения движения приводит к симметрии гамильтониана. В случае изолированной квантовой системы (нет внешнего поля) обычно постулируют инвариантность относительно группы смещений. Это означает, что пространство предполагается однородным (трансляционная

инвариантность) и изотропным (инвариантность относительно вращений). До настоящего времени этот постулат никогда не вступал в конфликт с экспериментальными данными.

Долгое время считалось, что движение физических систем инвариантно относительно отражений. Это экспериментально подтверждается во всех явлениях, в которых участвуют только электромагнитные и так называемые ядерные взаимодействия, т. е. взаимодействия, ответственные за устойчивость атомных ядер. Однако эксперимент показывает, что этот постулат нарушается рядом взаимодействий, и в частности теми, которые отвечают за -распад атомных ядер. Эти взаимодействия много слабее тех, которые были упомянуты выше. Всякий раз, когда этими взаимодействиями можно пренебречь, движение физических систем инвариантно относительно отражений и четность сохраняется. Такая ситуация имеет место в атомной физике, когда рассматриваются только электромагнитные взаимодействия.

При наличии внешнего поля свойства инвариантности уравнений движения зависят от симметрии внешнего поля. В качестве иллюстрации рассмотрим два примера, заимствованных из атомной физики, — эффект Штарка и эффект Зеемана.