§ 23. Зависящие от спина нуклол-нуклонные взаимодействия

В качестве второго примера зависящих от спина взаимодействий рассмотрим взаимодействие двух нуклонов, нейтронов или протонов. Пусть — масса нуклонов, — их относительная координата, - относительный импульс, — соответствующие спины. Движение центра масс и относительное движение полностью разделяются. Рассматриваемые ниже динамические переменные и динамические состояния относятся исключительно к относительному движению. Орбитальный момент импульса равен

полный спин

и полный момент импульса

Гамильтониан имеет вид

Чаще всего используются четыре типа взаимодействий, которые инвариантны, относительно вращений

В трех последних выражениях зависящие от спина операторы записаны в их традиционном виде. Можно записать их и по-другому. Так, возводя обе части (97) в квадрат и используя тождество

получаем

а возводя в квадрат обе части (98), получаем

Наконец, из ур. (97) имеем

Отсюда

и, следовательно,

Оператор называется «тензорный оператор», а взаимодействие «тензорные силы».

Если V — линейная комбинация взаимодействий типа (99), то гамильтониан будет инвариантен относительно как вращений, так и отражений (при отражении переходят в а операторы спина не меняются). Мы еще вернемся к свойству инвариантности относительно отражений. Отметим только, что если обозначить Р — оператор, который, действуя на дает то его собственные функции будут обладать определенной четностью. Инвариантность относительно отражений означает, что Если гамильтониан обладает указанным свойством, то его собственные функции можно искать среди функций с определенной четностью.

Взаимодействия (99) расположены в порядке уменьшения их симметрии.

Первое не зависит от спина. Второе коммутирует с и S по отдельности: оно инвариантно не только по отношению к общим вращениям, но и к вращениям только орбитальных переменных или только спинов. Если V содержит лишь члены вида (99 а) и (99 б), то собственные функции Я можно искать среди общих

собственных функций и соответствующие собственные значения будут вырождены и не будут зависеть от собственных значений

Если же V содержит также член вида (99 в), то все еще коммутировать с но перестанет быть инвариантным относительно независимых вращений пространственных координат и спинов. Собственные функции Н в этом случае можно искать среди общих собственных функций а его собственные значения будут иметь вращательное вырождение только кратности

Взаимодействие (99 г) имеет наименьшую симметрию. Оператор не коммутирует с Однако он еще коммутирует с (из выражения (102) для тензорного оператора видно, что Если V содержит член вида (99 г), то собственные функции Н можно искать среди общих собственных функций операторов .