§ 27. Атом водорода

В качестве второго примера исследуем связанные состояния электрона в кулоновском поле атомного ядра. Последнее будем считать точечным зарядом, равным заряду электрона, умноженному на и покоящимся в начале координат. Мы будем интересоваться связанными состояниями релятивистской частицы спина 1/2 в центральном потенциале

Эта задача на собственные значения может быть решена точно. Здесь мы опишем только основные моменты метода решения, который представляет собой простое расширение метода, использованного в § XI. 4.

Из анализа асимптотического поведения решений системы радиальных уравнений (170) ясно, что энергия Е должна лежать в интервале Искомое собственное значение характеризуется тем, что соответствующее решение должно быть регулярно в начале координат и на бесконечности вести себя, как

Введем обозначения

и новую переменную

Тогда система уравнений (170) примет вид

Будем искать решения в виде рядов

Подставляя эти разложения в систему (177) и приравнивая члены соответствующих порядков, получаем набор уравнений, первое из которых определяет а последующие представляют

собой рекуррентные соотношения для коэффициентов Уравнение для s имеет два корня . Для регулярности решений и и выполнения условия необходимо и достаточно, чтобы Так выбирается положительный корень

Следовательно, для любого значения существует одно решение, регулярное в начале координат. В общем случае, это решение на бесконечности ведет себя, как если только разложения (178) не обрываются. Последнее возможно только для специальных значений Е — искомых уровней энергии. Вычисление показывает, что эти значения равны

где — радиальное квантовое число — равно степени полиномов, фигурирующих в разложениях (178). Для каждого положительного существует регулярное решение при любом из двух значений для регулярное решение существует только при

Введем главное квантовое число

Тогда предыдущие результаты можно сформулировать следующим образом. Уровни дискретного спектра зависят от двух квантовых чисел и определяются формулой

где может принимать все целые положительные значения, все полуцелые значения из интервала

Каждому значению соответствуют два набора из решений противоположной четности, за исключением значения которому соответствует один набор из решений четности Вместо того, чтобы фиксировать четность, можно фиксировать величину — значение орбитального момента двух первых компонент спинора. Напомним, что четность спинора равна

Для энергетических уровней и состояний обычно используют спектроскопические обозначения Ниже приведены несколько первых уровней и соответствующие спектроскопические термы (вырождение каждого терма равно ):

Если выражение (179) разложить в ряд по степеням то получим

Первое слагаемое — масса электрона. Второе — в точности совпадает с результатом нерелятивистской теории. Следующие слагаемые определяют релятивистские поправки, которые частично устраняют «случайное вырождение» уровней нерелятивистской теории: при фиксированном энергия связи каждого терма зависит только от и тем больше, чем меньше

Экспериментальные результаты о тонкой структуре спектра атома водорода или водородоподобных атомов (а именно, находятся в хорошем согласии с этими предсказаниями.

Однако совпадение результатов не является полным. Наибольшее расхождение наблюдается в тонкой структуре уровней

с атома водорода В нерелятивистском приближении три уровня совпадают. В теории Дирака уровни остаются равными, а уровень расположен ниже (расстояние между ними порядка . Расстояние согласуется с предсказаниями теории, в то же время уровень расположен ниже уровня и величина равна приблизительно одной десятой расстояния

Этот эффект называют лэмбовским сдвигом. Для его объяснения необходимо строгое рассмотрение полного взаимодействия между электроном, протоном и квантованным электромагнитным полем. В теории Дирака учитывается только основная часть этого взаимодействия — кулоновский потенциал. Лэмбовский сдвиг связан с «радиационными поправками» к этому приближению 2).