§ 12. Вычисление матричных элементов

Основные методы вычисления. Если матрица известна, то матрицу легко получить из соотношения (56). Матрица вещественная, унитарная, обладает свойством симметрии (65)

Поэтому нужно только знать матричные элементы, соответствующие чтобы получить все остальные. Для этого мы можем:

а) вычислить их непосредственно с помощью приводимой ниже формулы Вигнера;

б) получить их с помощью формулы (70) для композиции с меньшими значениями момента импульса; в частности, все матрицы могут быть получены одна из другой, начиная с

в) получить их друг из друга, используя рекуррентные соотношения, вытекающие из уравнений (49).

Формула Вигнера. Введем обозначения

Получаем

В данном случае при суммировании используется то же соглашение, что и формуле (21). Число членов в равно где — наименьшее из четы

чисел По отношению к переменным выражение есть однородный полином степени

Частные случаи формулы Вигнера:

Случай

(в этом выражении верхняя и нижняя строки соответствуют этим же значениям соответствуют левый и правый столбцы).