§ 21. Рассеяние быстрых электронов атомом

В качестве иллюстрации собственно борцовского приближения рассмотрим рассеяние быстрых электронов атомом.

Ядро атома будем считать бесконечно тяжелым и расположенным в начале координат. Гамильтониан системы имеет вид

Первое слагаемое — кинетическая энергия налетающего электрона, второе — гамильтониан атома, третье слагаемое представляет собой энергию взаимодействия

где — координаты налетающего электрона, а — координаты электронов атома. Пусть

собственные функции гамильтониана а

соответствующие собственные значения.

Рассмотрим процесс неупругого рассеяния, когда импульс электрона меняется от до , а атом переходит из основного состояния в возбужденное состояние . В силу закона сохранения энергии имеем

Обозначим переданный импульс

Отметим, что соотношение (24) здесь не выполняется, вместо него справедливо следующее равенство:

В дополнение к прямому процессу, когда налетающий электрон, теряя часть кинетической энергии, просто рассеивается, возможен и обмен налетающего электрона с одним из электронов атома. Обменный эффект может быть значителен в том случае, когда скорость рассеянного электрона равна по порядку величины скорости электронов атома, т. е. . При тех условиях, когда применимо борновское приближение, этот эффект мал и им можно пренебречь. Мы будем рассматривать также налетающий электрон как частицу, отличную от электронов

атома. Используя формулу (123) для амплитуды перехода В борновском приближении, получаем

Это есть борновское приближение для амплитуды перехода частицы при переданном импульсе в потенциале

Результат справедлив при любом в частности, при упругом рассеянии

Чтобы преобразовать ответ к виду, аналогичному тому, который был получен в § 8, введем «электронную плотность»

и соответствующий форм-фактор

В случае упругого рассеяния мы имеем просто электронную плотность основного состояния и соответствующий форм-фактор (см. ур. (48))

Если подставить явное выражение для из уравнения (131) в определение мы увидим, что представляет собой потенциал кулоновского взаимодействия электрона и заряда с распределением

Именно такой потенциал использовался в § 8. Таким образом, мы получили обоснование использованной там модели.

Рассмотрим теперь неупругое рассеяние Подставим явное выражение для в определение (131). Поскольку функции ортогональны, вклад от члена исчезает. Другие члены дают потенциал взаимодействия электрона с плотностью заряда Повторяя рассуждения § 8, находим

и, следовательно, в борновском приближении сечение неупру» того рассеяния равно

Отметим, что данная формула подобна формуле (49) для упругого рассеяния. Зависимость от углов определяется множителем Свойства функции легко вывести из свойств . Так, . Если а — радиус атома, то функция в существенном отлична от нуля только в области 1. В случае применимости борновского приближения имеем а 1, т. е. энергия столкновения значительно больше расстояния между атомными уровнями, которое имеет порядок Следовательно, имеет порядок Когда меняется от до угол меняется от нуля до меняется от до . Согласно приведенным рассуждениям наибольшую вероятность имеет рассеяние электрона в интервал углов, для которых , т. е. в область малых углов

В принципе неупругое рассеяние можно использовать для измерения координат электрона. Согласно предположению, поперечные размеры падающего волнового пакета значительно больше а и, следовательно, неопределенность величины поперечной компоненты импульса значительно меньше . Сразу после неупругого рассеяния, считая, что мы можем определить изменение квантового состояния атома, координаты электрона становятся известны с точностью порядка а. Однако направление импульса электрона становится известным лишь с точностью неопределенность в поперечной компоненте упомянутого импульса имеет порядок . Это полностью согласуется с тем, что было сказано в главе IV 1 тома об измерениях координат (см. в частности, обсуждение измерений с помощью камеры Вильсона, сноска на стр. 144. 1 тома).