§ 6. Основное состояние атома гелия

В этом параграфе вариационный метод применяется для вычисления энергии основного состояния атома гелия Не или в более общем случае, -кратно ионизированных атомов,

таких как Эта задача уже рассматривалась методом теории возмущений в § XVI. 4, и в данном параграфе, если не оговорено противное, мы будем использовать те же обозначения.

В качестве пробной функции возьмем функцию, которую даег нулевой порядок теории возмущений

где а будет рассматриваться как вариационный параметр, а не как заданное значение

Поскольку пробная функция имеет норму 1, среднее значе ние энергии равно

Гамильтониан системы можно представить в виде

где — оператор кинетической энергии электрона, — взаимодействие электрона с ядром, — взаимодействие между электронами. Следовательно, есть сумма средних значений этих пяти операторов. Вычисление этих величин значительно упрощается, поскольку волновую функцию можно представить в виде где - собственная функция, отвечающая основному состоянию электрона в кулоновском иоле заряда Полная энергия такого электрона равна — среднее значение кинетической энергии а среднее значение потенциаль ной энергии (задача XI. 1). Следовательно,

Кроме того, согласно вычислениям § XVI. 4 (ур. (XVI. 17)- (XVI. 20))

откуда

Это выражение, рассматриваемое как функция а или имеет минимум при

и минимальное значение равно

Численные значения соответствующие атомам Не, приведены в таблице I в § XVI. 4. Интересно сравнить их со значениями, полученными при вычислении в первом порядке по теории возмущений. Заметим, что

и, следовательно, найденное значение меньше значения, которое получается по теории возмущений, на независящую от Z величину

Как и следовало ожидать, Ечаг дает лучшее приближение, ко торое, однако, больше экспериментального значения Еехр, в согласии с неравенством (6).

Полученная при этом вычислении функция имеет простой физический смысл. Она отвечает двум независимым частицам» движущимся в кулоновском поле заряда который определяется формулой (12), этот заряд меньше заряда ядра на и разница отражает эффект экранировки, которую испытывает каждый из электронов при движении в кулоновском поле ядра из-за присутствия другого электрона.

Выбрав пробную функцию более сложной, можно получить значение которое еще ближе к точному собственному значению. В частности, можно взять вместо пробной функции зависящей только от одного вариационного параметра а, произведение на полином некоторой степени от переменных коэффициенты которого также рассматриваются как вариационные параметры. С увеличением сложности полинома получаемое значение будет уменьшаться и приближаться к точному значению. Поступая таким образом, Хиллерас получил прекрасное согласие теоретического значения с экспериментальным.